综合与实践:“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题:如图①所示,在线段AC同侧有两点B,D,连结AD,AB,BC,CD,如果$∠ B=∠ D$,那么A,B,C,D四点在同一个圆上.
探究展示:如图②所示,作经过点A,C,D的$\odot O$,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合),连结AE,CE,则$∠ AEC+∠ D=180°$,(依据1)
$\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ AEC+∠ B=180°$,
$\therefore A,B,C,E$四点在同一个圆上,(对角互补的四边形四个顶点共圆)
$\therefore$点B,D在点A,C,E所确定的$\odot O$上,(依据2)
$\therefore A,B,C,D$四点在同一个圆上.
反思归纳:(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
依据1:;(从下边框内选一个选项,直接填序号)
依据2:.(从下边框内选一个选项,直接填序号)
①圆内接四边形对角互补.
②对角互补的四边形四个顶点共圆.
③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆.
④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上.
(2)如图③所示,在四边形ABCD中,$∠ 1=∠ 2=80°,∠ 3=42°$,求$∠ 4$的度数.

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(1) 依据1：①，依据2：③
(2) 作过点A,C,D的⊙O,在劣弧CD上取点K,连结DK,CK,如图.
∵ ∠1 = 80°,
∴ ∠K = 180° - ∠1 = 100°.
∵ ∠2 = 80°,
∴ ∠K+∠2 = 180°,
∴ B,C,D,K四点共圆,
即点B在过点C,D,K的⊙O上.
∵ 点A在过点C,D,K的⊙O上,
∴ A,B,C,K,D五点共圆.
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$,
∴ ∠4=∠3=42°.

【分析】
(1) 对于依据1：四边形AECD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，因此∠AEC+∠D=180°，对应选项①；对于依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，A、C、E三点确定唯一的⊙O，已证点B、D都在这个圆上，因此对应选项③。
(2) 求∠4的度数时，先利用“对角互补的四边形四个顶点共圆”的结论，证明A、B、C、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠4与∠3相等，从而求得∠4的度数。
【解析】
(1) 依据1：四边形AECD为⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠AEC+∠D=180°，故选①；
依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，A、C、E三点确定唯一的⊙O，点B、D均在该圆上，因此A、B、C、D四点共圆，故选③。
(2) 作过点A,C,D的⊙O,在劣弧CD上取点K,连结DK,CK,如图。
∵ 四边形AKCD是圆内接四边形，
∴ ∠K + ∠1 = 180°，
∵ ∠1 = 80°,
∴ ∠K = 180° - 80° = 100°。
∵ ∠2 = 80°,
∴ ∠K+∠2 = 100°+80°=180°,
根据对角互补的四边形四个顶点共圆，可得B、C、D、K四点共圆，即点B在过点C、D、K的⊙O上。
又
∵ 点A在过点C、D、K的⊙O上，
∴ A、B、C、K、D五点在同一个圆上。
∵ ∠4和∠3都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠4=∠3=42°。
【答案】
(1) 依据1：①，依据2：③
(2) 作过点A,C,D的⊙O,在劣弧CD上取点K,连结DK,CK,如图。
∵ ∠1 = 80°,
∴ ∠K = 180° - ∠1 = 100°.
∵ ∠2 = 80°,
∴ ∠K+∠2 = 180°,
∴ B,C,D,K四点共圆,
即点B在过点C,D,K的⊙O上.
∵ 点A在过点C,D,K的⊙O上,
∴ A,B,C,K,D五点共圆.
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$,
∴ ∠4=∠3=42°.
【知识点】
圆内接四边形的性质，确定圆的条件，圆周角定理
【点评】
本题以四点共圆的探究活动为载体，既考查了圆相关基础定理的识别，又考查了知识迁移应用的能力，解题的关键是灵活运用四点共圆的判定结论和圆周角定理进行推导。
【难度系数】
0.7