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二、填空题(每小题8分,共24分)
7. 如图,已知两个四边形相似,则α=
7. 如图,已知两个四边形相似,则α=
$60°$
,x=2
。答案
7. $60°$ 2
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第一步求角α：先结合相似四边形对应角相等，确定第一个四边形的四个内角度数，再利用四边形内角和为360°计算α；第二步求x：先找到两组对应边，确定相似比，再根据对应边成比例列等式求解x即可。
【解析】
1. 求α的度数：
因为两个四边形相似，所以对应角相等，可知第一个四边形的四个内角分别为α、45°、120°、135°（对应第二个四边形的135°角）。
根据四边形内角和为360°，可得：
α = 360° - 45° - 120° - 135° = 60°
2. 求x的值：
观察两个四边形的对应边，长为8的边和长为4的边是对应边，因此两个四边形的相似比为8:4=2:1。
长为4的边和长为x的边是对应边，根据对应边成比例可得：
$\frac{4}{x}=\frac{2}{1}$
解得x=2
【答案】
$60°$；2
【知识点】
相似多边形的性质；四边形内角和
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确找到相似多边形的对应角和对应边，计算时结合多边形内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第一步求角α：先结合相似四边形对应角相等，确定第一个四边形的四个内角度数，再利用四边形内角和为360°计算α；第二步求x：先找到两组对应边，确定相似比，再根据对应边成比例列等式求解x即可。
【解析】
1. 求α的度数：
因为两个四边形相似，所以对应角相等，可知第一个四边形的四个内角分别为α、45°、120°、135°（对应第二个四边形的135°角）。
根据四边形内角和为360°，可得：
α = 360° - 45° - 120° - 135° = 60°
2. 求x的值：
观察两个四边形的对应边，长为8的边和长为4的边是对应边，因此两个四边形的相似比为8:4=2:1。
长为4的边和长为x的边是对应边，根据对应边成比例可得：
$\frac{4}{x}=\frac{2}{1}$
解得x=2
【答案】
$60°$；2
【知识点】
相似多边形的性质；四边形内角和
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确找到相似多边形的对应角和对应边，计算时结合多边形内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图，正方形网格图中的$△ ABC$与$△ A'B'C'$位似，则位似中心是点R，点P，点Q，点O四个点中的
点O
。答案
8. 点O
解析
【分析】
要确定两个位似三角形的位似中心，需依据位似中心的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都经过位似中心，即对应顶点连线的公共交点就是位似中心。因此解题时先找出两组对应顶点，分别连线，两条连线的交点即为所求，再用第三组对应顶点连线验证即可。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心是各组对应顶点连线的公共交点：
1. 确定$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对应顶点：$A$对应$A'$，$B$对应$B'$，$C$对应$C'$；
2. 分别连接$AA'$、$BB'$，观察可得两条线段的交点为点$O$；
3. 连接$CC'$验证，发现$CC'$也经过点$O$，因此点$O$是两个三角形的位似中心。
【答案】
点O
【知识点】
位似图形的性质，位似中心的定义
【点评】
本题考查位似中心的判定，属于基础题型，解题的核心是掌握位似图形的对应点连线都经过位似中心这一性质，通过连线找交点即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要确定两个位似三角形的位似中心，需依据位似中心的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都经过位似中心，即对应顶点连线的公共交点就是位似中心。因此解题时先找出两组对应顶点，分别连线，两条连线的交点即为所求，再用第三组对应顶点连线验证即可。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心是各组对应顶点连线的公共交点：
1. 确定$△ ABC$和$△ A'B'C'$的对应顶点：$A$对应$A'$，$B$对应$B'$，$C$对应$C'$；
2. 分别连接$AA'$、$BB'$，观察可得两条线段的交点为点$O$；
3. 连接$CC'$验证，发现$CC'$也经过点$O$，因此点$O$是两个三角形的位似中心。
【答案】
点O
【知识点】
位似图形的性质，位似中心的定义
【点评】
本题考查位似中心的判定，属于基础题型，解题的核心是掌握位似图形的对应点连线都经过位似中心这一性质，通过连线找交点即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
9. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象。它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像。如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB//CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米，此时CD的长度是
18
厘米。答案
9. 18
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，根据AB平行于CD，可判定△OAB和△OCD相似；第二步，明确相似三角形对应高的比等于相似比，先计算出光源O到幕布的距离OH，它等于O到手的距离OG加上手到幕布的距离GH；第三步，根据相似比列出关于CD的比例式，代入已知数据求解即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴△OAB∽△OCD（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
由题意可知OG⊥AB，OH⊥CD，OG=100cm，GH=20cm，
∴OH = OG + GH = 100 + 20 = 120 cm。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{OG}{OH}=\frac{AB}{CD}$
将AB=15cm，OG=100cm，OH=120cm代入得：
$\frac{100}{120}=\frac{15}{CD}$
交叉相乘得：$100CD = 15×120 = 1800$
解得：$CD = 18$ cm。
【答案】
18
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.相似三角形的性质
【点评】
本题结合手影戏的生活场景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确找到相似三角形及对应线段的比例关系，难度较低，能很好地体现数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
本题是相似三角形在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，根据AB平行于CD，可判定△OAB和△OCD相似；第二步，明确相似三角形对应高的比等于相似比，先计算出光源O到幕布的距离OH，它等于O到手的距离OG加上手到幕布的距离GH；第三步，根据相似比列出关于CD的比例式，代入已知数据求解即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴△OAB∽△OCD（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
由题意可知OG⊥AB，OH⊥CD，OG=100cm，GH=20cm，
∴OH = OG + GH = 100 + 20 = 120 cm。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{OG}{OH}=\frac{AB}{CD}$
将AB=15cm，OG=100cm，OH=120cm代入得：
$\frac{100}{120}=\frac{15}{CD}$
交叉相乘得：$100CD = 15×120 = 1800$
解得：$CD = 18$ cm。
【答案】
18
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.相似三角形的性质
【点评】
本题结合手影戏的生活场景考查相似三角形的实际应用，解题的核心是准确找到相似三角形及对应线段的比例关系，难度较低，能很好地体现数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共28分)
10. (13分) 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点依次为A(1,3),B(3,1),C(4,2)。以原点O为位似中心,在第一象限内画出△A₁B₁C₁,使△A₁B₁C₁与△ABC位似,且△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为2:1,并写出点A,B的对应点A₁,B₁的坐标。
10. (13分) 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点依次为A(1,3),B(3,1),C(4,2)。以原点O为位似中心,在第一象限内画出△A₁B₁C₁,使△A₁B₁C₁与△ABC位似,且△A₁B₁C₁与△ABC的相似比为2:1,并写出点A,B的对应点A₁,B₁的坐标。
答案
10. 解:△ABC的顶点依次为A(1,3),B(3,1),C(4,2),以原点O为位似中心,在第一象限内画出△A₁B₁C₁，
，如图,△A₁B₁C₁即为所求。由图可得,A₁(2,6),B₁(6,2)。
解析
【分析】
本题考查位似图形的作图与对应点坐标求解，解题思路如下：1. 回忆位似图形的性质：当以原点为位似中心时，若相似比为k，位似图形对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘以k，k的符号由位似图形所在象限决定，本题要求在第一象限作图，故k取正值；2. 本题相似比为2:1，即k=2，将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘2，即可得到对应点A₁、B₁、C₁的坐标；3. 在平面直角坐标系第一象限内描出三个对应点，依次连线就能得到所求的位似图形，最后写出A₁、B₁的坐标即可。
【解析】
已知△ABC三个顶点坐标为A(1,3)、B(3,1)、C(4,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC相似比为2:1的位似图形△A₁B₁C₁。
根据原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：相似比为2，且位似图形在第一象限，因此各对应点的横、纵坐标均为原坐标的2倍：
A₁的坐标为$(1×2, 3×2)=(2,6)$，
B₁的坐标为$(3×2, 1×2)=(6,2)$，
C₁的坐标为$(4×2, 2×2)=(8,4)$。
在第一象限内描出A₁(2,6)、B₁(6,2)、C₁(8,4)，依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
△ABC的顶点依次为A(1,3),B(3,1),C(4,2),以原点O为位似中心,在第一象限内画出△A₁B₁C₁，，如图,△A₁B₁C₁即为所求。
由图可得,A₁(2,6),B₁(6,2)。
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变换，位似作图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对位似图形性质的掌握，解题的关键是明确以原点为位似中心时，对应点坐标和相似比的关系，作图时要注意位似图形所在的象限，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的作图与对应点坐标求解，解题思路如下：1. 回忆位似图形的性质：当以原点为位似中心时，若相似比为k，位似图形对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘以k，k的符号由位似图形所在象限决定，本题要求在第一象限作图，故k取正值；2. 本题相似比为2:1，即k=2，将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘2，即可得到对应点A₁、B₁、C₁的坐标；3. 在平面直角坐标系第一象限内描出三个对应点，依次连线就能得到所求的位似图形，最后写出A₁、B₁的坐标即可。
【解析】
已知△ABC三个顶点坐标为A(1,3)、B(3,1)、C(4,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC相似比为2:1的位似图形△A₁B₁C₁。
根据原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：相似比为2，且位似图形在第一象限，因此各对应点的横、纵坐标均为原坐标的2倍：
A₁的坐标为$(1×2, 3×2)=(2,6)$，
B₁的坐标为$(3×2, 1×2)=(6,2)$，
C₁的坐标为$(4×2, 2×2)=(8,4)$。
在第一象限内描出A₁(2,6)、B₁(6,2)、C₁(8,4)，依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
△ABC的顶点依次为A(1,3),B(3,1),C(4,2),以原点O为位似中心,在第一象限内画出△A₁B₁C₁，
，如图,△A₁B₁C₁即为所求。由图可得,A₁(2,6),B₁(6,2)。
【知识点】
位似图形的性质，坐标与图形变换，位似作图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对位似图形性质的掌握，解题的关键是明确以原点为位似中心时，对应点坐标和相似比的关系，作图时要注意位似图形所在的象限，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.8
11. (15分)如图,在$△ ABC$中,$CH ⊥ AB$,$CH=5$,$AB=10$,若内接矩形$DEFG$的邻边$DG:GF=1:2$。
(1)求$DG$的长。
(2)求$△ GFC$与四边形$ABFG$的面积之比。
(1)求$DG$的长。
(2)求$△ GFC$与四边形$ABFG$的面积之比。
答案
11. 解:(1)因为$DG: GF=1: 2$,所以设$DG=x$,则$FG=2x$。
因为四边形$DEFG$是矩形,所以$FG// DE$,
所以$∠CGF=∠A, ∠CFG=∠B$,所以$△CGF ∽△CAB$。
因为$CH⊥AB,FG// DE$,所以$CH⊥FG$,
所以$\frac{CI}{CH}=\frac{FG}{AB}$,所以$\frac{5-x}{5}=\frac{2x}{10}$,
解得$x=2.5$,所以$DG=2.5$。
(2)由(1)知$△CGF∽△CAB,FG=5$,
所以$\frac{S_{△CGF}}{S_{△CAB}}=(\frac{FG}{AB})^2=\frac{1}{4}$,
所以$△GFC$与四边形$ABFG$的面积比为$1: 3$。
因为四边形$DEFG$是矩形,所以$FG// DE$,
所以$∠CGF=∠A, ∠CFG=∠B$,所以$△CGF ∽△CAB$。
因为$CH⊥AB,FG// DE$,所以$CH⊥FG$,
所以$\frac{CI}{CH}=\frac{FG}{AB}$,所以$\frac{5-x}{5}=\frac{2x}{10}$,
解得$x=2.5$,所以$DG=2.5$。
(2)由(1)知$△CGF∽△CAB,FG=5$,
所以$\frac{S_{△CGF}}{S_{△CAB}}=(\frac{FG}{AB})^2=\frac{1}{4}$,
所以$△GFC$与四边形$ABFG$的面积比为$1: 3$。
解析
【分析】
(1) 求DG的长时，首先根据DG与GF的比例关系设未知数，再利用矩形对边平行的性质得到△CGF和△CAB相似；结合相似三角形对应高的比等于相似比的性质，找到两个三角形对应高的表达式，列比例式求解即可得到DG的长度。
(2) 求面积比时，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得出△CGF和△CAB的面积比，再通过四边形ABFG的面积=△CAB的面积-△CGF的面积，即可得到二者的比值。
【解析】
(1) 已知$DG: GF=1: 2$，设$DG=x$，则$FG=2x$。
∵ 四边形$DEFG$是矩形，
∴ $FG// DE$，
∴ $∠CGF=∠A, ∠CFG=∠B$，可得$△CGF ∽△CAB$。
∵ $CH⊥AB,FG// DE$，
∴ $CH⊥FG$，即$CI$是$△CGF$的高，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{CI}{CH}=\frac{FG}{AB}$，
其中$CI=CH-DG=5-x$，代入得$\frac{5-x}{5}=\frac{2x}{10}$，
解得$x=2.5$，即$DG=2.5$。
(2) 由(1)知$△CGF∽△CAB$，且$FG=2×2.5=5$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△CGF}}{S_{△CAB}}=(\frac{FG}{AB})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$，
设$S_{△CGF}=k$，则$S_{△CAB}=4k$，
∴ $S_{四边形ABFG}=S_{△CAB}-S_{△CGF}=4k-k=3k$，
因此$S_{△GFC}:S_{四边形ABFG}=k:3k=1:3$。
【答案】
(1) $\boxed{DG=2.5}$
(2) $\boxed{1:3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形的常规应用题型，解题关键是借助矩形的平行关系构造相似三角形，结合相似三角形的性质列式求解，熟练掌握相似三角形的对应高比、面积比与相似比的关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 求DG的长时，首先根据DG与GF的比例关系设未知数，再利用矩形对边平行的性质得到△CGF和△CAB相似；结合相似三角形对应高的比等于相似比的性质，找到两个三角形对应高的表达式，列比例式求解即可得到DG的长度。
(2) 求面积比时，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得出△CGF和△CAB的面积比，再通过四边形ABFG的面积=△CAB的面积-△CGF的面积，即可得到二者的比值。
【解析】
(1) 已知$DG: GF=1: 2$，设$DG=x$，则$FG=2x$。
∵ 四边形$DEFG$是矩形，
∴ $FG// DE$，
∴ $∠CGF=∠A, ∠CFG=∠B$，可得$△CGF ∽△CAB$。
∵ $CH⊥AB,FG// DE$，
∴ $CH⊥FG$，即$CI$是$△CGF$的高，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{CI}{CH}=\frac{FG}{AB}$，
其中$CI=CH-DG=5-x$，代入得$\frac{5-x}{5}=\frac{2x}{10}$，
解得$x=2.5$，即$DG=2.5$。
(2) 由(1)知$△CGF∽△CAB$，且$FG=2×2.5=5$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△CGF}}{S_{△CAB}}=(\frac{FG}{AB})^2=(\frac{5}{10})^2=\frac{1}{4}$，
设$S_{△CGF}=k$，则$S_{△CAB}=4k$，
∴ $S_{四边形ABFG}=S_{△CAB}-S_{△CGF}=4k-k=3k$，
因此$S_{△GFC}:S_{四边形ABFG}=k:3k=1:3$。
【答案】
(1) $\boxed{DG=2.5}$
(2) $\boxed{1:3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形的常规应用题型，解题关键是借助矩形的平行关系构造相似三角形，结合相似三角形的性质列式求解，熟练掌握相似三角形的对应高比、面积比与相似比的关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
