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9. [2026宿州期中]如图，将$△ ABC$绕点C顺时针旋转$90°$得到$△ EDC$.若点A，D，E在同一条直线上，$AB=2$，$AC=4$，则$AD=$
$4\sqrt{2}-2$
.答案
9.$4\sqrt{2}-2$
解析
【分析】
遇到图形旋转的题目，首先想到旋转的核心性质：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。本题中旋转角为90°，首先可得到AC=CE，∠ACE=90°，同时AB对应DE，因此DE=AB。要求AD的长度，结合A、D、E三点共线的条件，可转化为用AE的长度减去DE的长度求解。其中△ACE是等腰直角三角形，用勾股定理即可算出AE的长度，代入数值就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴根据旋转的性质可得：$AC=CE=4$，$AB=DE=2$，$∠ACE=90°$，
∴△ACE是等腰直角三角形，
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
又
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴$AD=AE-DE=4\sqrt{2}-2$。
【答案】
$4\sqrt{2}-2$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是图形旋转性质的基础应用题，解题关键是抓住旋转前后图形对应边、对应角不变的特点，结合等腰直角三角形性质和勾股定理计算，能有效考查学生对旋转性质的掌握程度和基础几何计算能力。
【难度系数】
0.7
遇到图形旋转的题目，首先想到旋转的核心性质：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。本题中旋转角为90°，首先可得到AC=CE，∠ACE=90°，同时AB对应DE，因此DE=AB。要求AD的长度，结合A、D、E三点共线的条件，可转化为用AE的长度减去DE的长度求解。其中△ACE是等腰直角三角形，用勾股定理即可算出AE的长度，代入数值就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴根据旋转的性质可得：$AC=CE=4$，$AB=DE=2$，$∠ACE=90°$，
∴△ACE是等腰直角三角形，
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
又
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴$AD=AE-DE=4\sqrt{2}-2$。
【答案】
$4\sqrt{2}-2$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是图形旋转性质的基础应用题，解题关键是抓住旋转前后图形对应边、对应角不变的特点，结合等腰直角三角形性质和勾股定理计算，能有效考查学生对旋转性质的掌握程度和基础几何计算能力。
【难度系数】
0.7
10.新角度如图，在$3×3$的正方形网格中，A，B两点在格点上，线段AB绕点A逆时针旋转一定的角度后得到线段AC，点B与格点C对应，则旋转角的大小可以为
$90°$（答案不唯一）
。答案
10.$90°$（答案不唯一）
解析
【分析】
要确定旋转角的大小，首先明确旋转角的定义：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，本题中旋转中心为点A，点B的对应点是点C，因此所求旋转角即为∠BAC的度数。我们可以通过设小正方形边长为1，利用勾股定理计算AB、AC、BC的长度，再借助勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算三条线段的长度：
1. 计算AB的长度：$AB^2=1^2+2^2=5$，故$AB=\sqrt{5}$；
2. 计算AC的长度：$AC^2=2^2+1^2=5$，故$AC=\sqrt{5}$；
3. 计算BC的长度：$BC^2=3^2+1^2=10$。
由此可得$AB^2+AC^2=5+5=10=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，即旋转角的大小可以为$90°$。
【答案】
$90°$（答案不唯一）
【知识点】
旋转角的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合网格背景考查旋转的相关性质与三角形的相关计算，解题核心是准确识别旋转角，灵活运用网格特征计算线段长度，能够有效考查学生对基础知识的综合应用能力，是旋转章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要确定旋转角的大小，首先明确旋转角的定义：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，本题中旋转中心为点A，点B的对应点是点C，因此所求旋转角即为∠BAC的度数。我们可以通过设小正方形边长为1，利用勾股定理计算AB、AC、BC的长度，再借助勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算三条线段的长度：
1. 计算AB的长度：$AB^2=1^2+2^2=5$，故$AB=\sqrt{5}$；
2. 计算AC的长度：$AC^2=2^2+1^2=5$，故$AC=\sqrt{5}$；
3. 计算BC的长度：$BC^2=3^2+1^2=10$。
由此可得$AB^2+AC^2=5+5=10=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，即旋转角的大小可以为$90°$。
【答案】
$90°$（答案不唯一）
【知识点】
旋转角的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合网格背景考查旋转的相关性质与三角形的相关计算，解题核心是准确识别旋转角，灵活运用网格特征计算线段长度，能够有效考查学生对基础知识的综合应用能力，是旋转章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
11. 能力训练点·逻辑推理与论证 [2026 北京期中]
如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，将$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转得到$△ DEC$，点$A$的对应点为$D$，点$B$的对应点$E$恰好落在$AC$上，延长$DE$交$AB$于点$F$。已知$BC=3$，$AC=4$。
(1)$AE=$
(2)判断$AB$与$DF$的位置关系，并说明理由。
如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，将$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转得到$△ DEC$，点$A$的对应点为$D$，点$B$的对应点$E$恰好落在$AC$上，延长$DE$交$AB$于点$F$。已知$BC=3$，$AC=4$。
(1)$AE=$
1
；(2)判断$AB$与$DF$的位置关系，并说明理由。
答案
11.解：(1)1 (2)$AB⊥DF$.理由略.
解析
【分析】
(1) 求解第一问需结合旋转的性质：旋转前后图形的对应边长度相等。△ABC旋转得到△DEC，BC和EC是一组对应边，因此EC=BC，再用AC的长度减去EC的长度即可算出AE的长度。
(2) 判断AB和DF的位置关系，可先猜想为垂直，再利用旋转前后对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的结论，推导交点处的角为90°，即可证明垂直关系。
【解析】
(1)
∵ △ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，根据旋转的性质，对应边相等，
∴ EC = BC = 3，
又
∵ AC = 4，
∴ AE = AC - EC = 4 - 3 = 1。
(2) AB⊥DF，理由如下：
由旋转的性质可得：∠A = ∠D，∠ACB = ∠DCE = 90°，
在Rt△DEC中，∠D + ∠DEC = 90°（直角三角形两锐角互余），
∵ ∠AEF与∠DEC是对顶角，
∴ ∠AEF = ∠DEC，
∴ ∠A + ∠AEF = ∠D + ∠DEC = 90°，
在△AEF中，∠AFE = 180° - (∠A + ∠AEF) = 90°，
∴ AB⊥DF。
【答案】
(1) 1；(2) AB⊥DF
【知识点】
旋转的性质，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，结合三角形角度相关的性质推导即可，难度不高。
【难度系数】
0.75
(1) 求解第一问需结合旋转的性质：旋转前后图形的对应边长度相等。△ABC旋转得到△DEC，BC和EC是一组对应边，因此EC=BC，再用AC的长度减去EC的长度即可算出AE的长度。
(2) 判断AB和DF的位置关系，可先猜想为垂直，再利用旋转前后对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的结论，推导交点处的角为90°，即可证明垂直关系。
【解析】
(1)
∵ △ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，根据旋转的性质，对应边相等，
∴ EC = BC = 3，
又
∵ AC = 4，
∴ AE = AC - EC = 4 - 3 = 1。
(2) AB⊥DF，理由如下：
由旋转的性质可得：∠A = ∠D，∠ACB = ∠DCE = 90°，
在Rt△DEC中，∠D + ∠DEC = 90°（直角三角形两锐角互余），
∵ ∠AEF与∠DEC是对顶角，
∴ ∠AEF = ∠DEC，
∴ ∠A + ∠AEF = ∠D + ∠DEC = 90°，
在△AEF中，∠AFE = 180° - (∠A + ∠AEF) = 90°，
∴ AB⊥DF。
【答案】
(1) 1；(2) AB⊥DF
【知识点】
旋转的性质，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，结合三角形角度相关的性质推导即可，难度不高。
【难度系数】
0.75
12. 推理能力 如图①,将三角尺ABC与三角尺ADE摆放在一起,其中$∠ ACB=30°$,$∠ DAE=45°$,$∠ BAC=∠ D=90°$.固定三角尺ABC,将三角尺ADE绕点A按顺时针方向旋转,如图②,记旋转角$∠ CAE=α$ ($0°＜α＜180°$).
【操作发现】
(1)在旋转过程中,当$α$为
(2)当$△ ADE$的一边与$△ ABC$的某一边平行(不共线)时,直接写出旋转角$α$的所有可能的度数.
【拓展应用】
(3)当$0°＜α＜45°$时,连接$BD$,利用图③探究$∠ BDE+∠ CAE+∠ DBC$的值的变化情况,并说明理由.
【操作发现】
(1)在旋转过程中,当$α$为
15
度时,$AD// BC$;当$α$为105
度时,$AD⊥ BC$.(2)当$△ ADE$的一边与$△ ABC$的某一边平行(不共线)时,直接写出旋转角$α$的所有可能的度数.
【拓展应用】
(3)当$0°＜α＜45°$时,连接$BD$,利用图③探究$∠ BDE+∠ CAE+∠ DBC$的值的变化情况,并说明理由.
答案
12.解：(1)15;105
(2)旋转角α的所有可能的度数是15°,45°,105°,135°,150°.
(3)当$0°＜α＜45°$时,$∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°$,保持不变,理由略.
(2)旋转角α的所有可能的度数是15°,45°,105°,135°,150°.
(3)当$0°＜α＜45°$时,$∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°$,保持不变,理由略.
解析
【分析】
(1) 先根据三角尺的已知角度求出△ABC中∠B=60°、∠ACB=30°，当AD//BC时，利用平行线内错角相等求∠DAC的度数，结合∠DAE=45°即可算出旋转角α；当AD⊥BC时，利用直角三角形两锐角互余求∠DAC的度数，再结合旋转角定义计算α即可。
(2) 按△ADE的三条边分别与△ABC的边平行的所有情况分类讨论，结合平行线的性质分别计算对应旋转角α，避免漏解。
(3) 探究三个角的和的变化时，可将∠BDE、∠DBC转化为含∠ADB、∠ABD的式子，再结合三角形内角和定理表示出∠ADB+∠ABD与α的关系，代入化简即可判断和为定值。
【解析】
(1)
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠B=60°。
①当AD//BC时，∠DAC=∠ACB=30°（两直线平行，内错角相等），
∵∠DAE=45°，
∴α=∠CAE=∠DAE-∠DAC=45°-30°=15°；
②当AD⊥BC时，设AD交BC于点F，∠AFC=90°，则∠DAC=90°-∠ACB=60°，
∴α=∠CAE=∠DAE+∠DAC=45°+60°=105°。
(2) 分5种情况讨论：
①AD//BC，由(1)得α=15°；
②DE//AB，此时∠BAD=∠D=90°，α=∠CAE=∠DAE=45°；
③DE//BC，此时AD⊥BC，由(1)得α=105°；
④DE//AC，此时∠CAE=180°-∠AED=180°-45°=135°，即α=135°；
⑤AE//BC，此时∠CAE=180°-∠ACB=180°-30°=150°，即α=150°。
(3) 该值不变，为105°，理由如下：
由旋转性质得∠ADE=45°，∠ABC=60°，∠DAE=45°，
则∠BDE=∠ADE-∠ADB=45°-∠ADB，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=45°-∠ADB+α+60°-∠ABD=105°-(∠ADB+∠ABD)+α，
在△ABD中，∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°+(45°-α)=135°-α，
由三角形内角和得∠ADB+∠ABD=180°-∠BAD=180°-(135°-α)=45°+α，
代入得原式=105°-(45°+α)+α=105°，α被抵消，故值固定不变。
【答案】
(1)15；105
(2)旋转角α的所有可能的度数是15°,45°,105°,135°,150°
(3)当$0°＜α＜45°$时,$∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°$,保持不变。
【知识点】
旋转的性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题以三角尺旋转为载体，综合考查角度计算，既需要掌握旋转的不变性，也需要用分类讨论思想梳理所有平行的情况，对角度的和差推导、逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据三角尺的已知角度求出△ABC中∠B=60°、∠ACB=30°，当AD//BC时，利用平行线内错角相等求∠DAC的度数，结合∠DAE=45°即可算出旋转角α；当AD⊥BC时，利用直角三角形两锐角互余求∠DAC的度数，再结合旋转角定义计算α即可。
(2) 按△ADE的三条边分别与△ABC的边平行的所有情况分类讨论，结合平行线的性质分别计算对应旋转角α，避免漏解。
(3) 探究三个角的和的变化时，可将∠BDE、∠DBC转化为含∠ADB、∠ABD的式子，再结合三角形内角和定理表示出∠ADB+∠ABD与α的关系，代入化简即可判断和为定值。
【解析】
(1)
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠B=60°。
①当AD//BC时，∠DAC=∠ACB=30°（两直线平行，内错角相等），
∵∠DAE=45°，
∴α=∠CAE=∠DAE-∠DAC=45°-30°=15°；
②当AD⊥BC时，设AD交BC于点F，∠AFC=90°，则∠DAC=90°-∠ACB=60°，
∴α=∠CAE=∠DAE+∠DAC=45°+60°=105°。
(2) 分5种情况讨论：
①AD//BC，由(1)得α=15°；
②DE//AB，此时∠BAD=∠D=90°，α=∠CAE=∠DAE=45°；
③DE//BC，此时AD⊥BC，由(1)得α=105°；
④DE//AC，此时∠CAE=180°-∠AED=180°-45°=135°，即α=135°；
⑤AE//BC，此时∠CAE=180°-∠ACB=180°-30°=150°，即α=150°。
(3) 该值不变，为105°，理由如下：
由旋转性质得∠ADE=45°，∠ABC=60°，∠DAE=45°，
则∠BDE=∠ADE-∠ADB=45°-∠ADB，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=45°-∠ADB+α+60°-∠ABD=105°-(∠ADB+∠ABD)+α，
在△ABD中，∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°+(45°-α)=135°-α，
由三角形内角和得∠ADB+∠ABD=180°-∠BAD=180°-(135°-α)=45°+α，
代入得原式=105°-(45°+α)+α=105°，α被抵消，故值固定不变。
【答案】
(1)15；105
(2)旋转角α的所有可能的度数是15°,45°,105°,135°,150°
(3)当$0°＜α＜45°$时,$∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°$,保持不变。
【知识点】
旋转的性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题以三角尺旋转为载体，综合考查角度计算，既需要掌握旋转的不变性，也需要用分类讨论思想梳理所有平行的情况，对角度的和差推导、逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
