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7.[2025·合肥庐阳区期末]如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是$45°$,向前走6 m到达点B,测得顶端点P和底端点Q的仰角分别是$60°$和$30°$,则该电线杆PQ的高度为 (
A.$(6+2\sqrt{3})\mathrm{m}$
B.$(6+\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.$(10-\sqrt{3})\mathrm{m}$
D.$(8+\sqrt{3})\mathrm{m}$
A
)A.$(6+2\sqrt{3})\mathrm{m}$
B.$(6+\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.$(10-\sqrt{3})\mathrm{m}$
D.$(8+\sqrt{3})\mathrm{m}$
答案
7.A
解析
【分析】
解决本题的核心是构造直角三角形，将仰角条件转化为直角三角形的边角关系。首先延长PQ交水平地面于点C，得到垂直关系PC⊥AC；再设PC的长度为未知数，利用45°角的直角三角形两直角边相等表示出AC的长度，结合AB的长度表示出BC的长度；接下来在含60°、30°的直角三角形中，利用特殊角的三角函数值分别列出关于PC、QC的表达式，最后通过PQ=PC-QC计算得出结果。
【解析】
延长PQ交直线AB于点C，则$∠ PCA=90°$。
设$PC = x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，$∠ PAC=45°$，
$\therefore AC=PC=x\ \mathrm{m}$，
$\because AB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=AC - AB = (x - 6)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PBC=60°$，
$\therefore \tan60° = \frac{PC}{BC}$，即$\sqrt{3} = \frac{x}{x - 6}$，
解方程：
$x = \sqrt{3}(x - 6)$
$x = \sqrt{3}x - 6\sqrt{3}$
$x(\sqrt{3} - 1) = 6\sqrt{3}$
$x = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = 9 + 3\sqrt{3}$，
即$PC=(9 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，$BC=x - 6 = (3 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ QBC$中，$∠ QBC=30°$，
$\therefore \tan30° = \frac{QC}{BC}$，
$QC = BC · \tan30° = (3 + 3\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{3} = 3 + \sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
$\therefore PQ = PC - QC = (9 + 3\sqrt{3}) - (3 + \sqrt{3}) = (6 + 2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的应用
【点评】
本题是仰角类实际应用的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，结合特殊角的三角函数值建立方程即可求解，注重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是构造直角三角形，将仰角条件转化为直角三角形的边角关系。首先延长PQ交水平地面于点C，得到垂直关系PC⊥AC；再设PC的长度为未知数，利用45°角的直角三角形两直角边相等表示出AC的长度，结合AB的长度表示出BC的长度；接下来在含60°、30°的直角三角形中，利用特殊角的三角函数值分别列出关于PC、QC的表达式，最后通过PQ=PC-QC计算得出结果。
【解析】
延长PQ交直线AB于点C，则$∠ PCA=90°$。
设$PC = x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，$∠ PAC=45°$，
$\therefore AC=PC=x\ \mathrm{m}$，
$\because AB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=AC - AB = (x - 6)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PBC=60°$，
$\therefore \tan60° = \frac{PC}{BC}$，即$\sqrt{3} = \frac{x}{x - 6}$，
解方程：
$x = \sqrt{3}(x - 6)$
$x = \sqrt{3}x - 6\sqrt{3}$
$x(\sqrt{3} - 1) = 6\sqrt{3}$
$x = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = 9 + 3\sqrt{3}$，
即$PC=(9 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，$BC=x - 6 = (3 + 3\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ QBC$中，$∠ QBC=30°$，
$\therefore \tan30° = \frac{QC}{BC}$，
$QC = BC · \tan30° = (3 + 3\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{3} = 3 + \sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
$\therefore PQ = PC - QC = (9 + 3\sqrt{3}) - (3 + \sqrt{3}) = (6 + 2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的应用
【点评】
本题是仰角类实际应用的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，结合特殊角的三角函数值建立方程即可求解，注重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
8. [新课标—情境题]为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本的距离约为一尺（约33 cm），胸前与课桌的距离约为一拳，握笔的手指与笔尖的距离约为一寸.如图，BD为桌面，某同学的眼睛P看作业本A的俯角为$50°$，身体离书桌的距离$BC=9\ \mathrm{cm}$，眼睛到桌面的距离$PC=20\ \mathrm{cm}$.
(1)请通过计算判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求.
(2)为确保符合要求，需将作业本沿BA方向移动.当眼睛P看作业本A的俯角为$37°$时，求作业本移动的距离.（结果精确到0.1 cm，参考数据：$\sin 50° \approx 0.77$，$\cos 50° \approx 0.64$，$\tan 50° \approx 1.19$，$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$）
(1)请通过计算判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求.
(2)为确保符合要求，需将作业本沿BA方向移动.当眼睛P看作业本A的俯角为$37°$时，求作业本移动的距离.（结果精确到0.1 cm，参考数据：$\sin 50° \approx 0.77$，$\cos 50° \approx 0.64$，$\tan 50° \approx 1.19$，$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$）
答案
8.(1)在$\mathrm{Rt}△ APC$中,$∠ PAC=50°,PC=20\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \sin 50°=\dfrac{PC}{PA},\therefore PA=\dfrac{PC}{\sin 50°}\approx\dfrac{20}{0.77}\approx26.0＜33$,
$\therefore$这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求.
(2)作业本移动的距离约为 9.9 cm.
$\therefore \sin 50°=\dfrac{PC}{PA},\therefore PA=\dfrac{PC}{\sin 50°}\approx\dfrac{20}{0.77}\approx26.0＜33$,
$\therefore$这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求.
(2)作业本移动的距离约为 9.9 cm.
解析
【分析】
(1) 首先根据俯角的定义可得$∠ PAC=50°$，$△ APC$为直角三角形，已知直角边$PC$的长度，要求眼睛到作业本的距离$PA$即直角三角形的斜边，选用正弦函数即可求出$PA$的长度，再和标准距离33cm比较就能判断是否符合要求。
(2) 作业本移动后，新的俯角对应新直角三角形的内角为$37°$，先利用正切函数分别求出移动前后$AC$的长度，两个长度的差就是作业本移动的距离。
【解析】
(1) 由题意可知$PC⊥ BD$，即$∠ C=90°$，俯角为$50°$，因此$∠ PAC=50°$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$PC=20\ \mathrm{cm}$，$\sin∠ PAC=\frac{PC}{PA}$，
$\therefore PA=\frac{PC}{\sin50°}\approx\frac{20}{0.77}\approx26.0\ \mathrm{cm}$，
$\because 26.0＜33$，
$\therefore$这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求。
(2) 设移动后作业本的位置为点$A'$，此时俯角为$37°$，即$∠ PA'C=37°$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$\tan∠ PAC=\frac{PC}{AC}$，
$\therefore AC=\frac{PC}{\tan50°}\approx\frac{20}{1.19}\approx16.81\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ A'PC$中，$\tan∠ PA'C=\frac{PC}{A'C}$，
$\therefore A'C=\frac{PC}{\tan37°}\approx\frac{20}{0.75}\approx26.67\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$移动距离$AA'=A'C-AC\approx26.67-16.81\approx9.9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 不符合要求；
(2) 约9.9 cm
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合生活护眼情境考查解直角三角形的实际应用，解题关键是将俯角转化为直角三角形的内角，结合已知边的类型选择合适的锐角三角函数求解，既考查基础知识应用，又体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据俯角的定义可得$∠ PAC=50°$，$△ APC$为直角三角形，已知直角边$PC$的长度，要求眼睛到作业本的距离$PA$即直角三角形的斜边，选用正弦函数即可求出$PA$的长度，再和标准距离33cm比较就能判断是否符合要求。
(2) 作业本移动后，新的俯角对应新直角三角形的内角为$37°$，先利用正切函数分别求出移动前后$AC$的长度，两个长度的差就是作业本移动的距离。
【解析】
(1) 由题意可知$PC⊥ BD$，即$∠ C=90°$，俯角为$50°$，因此$∠ PAC=50°$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$PC=20\ \mathrm{cm}$，$\sin∠ PAC=\frac{PC}{PA}$，
$\therefore PA=\frac{PC}{\sin50°}\approx\frac{20}{0.77}\approx26.0\ \mathrm{cm}$，
$\because 26.0＜33$，
$\therefore$这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求。
(2) 设移动后作业本的位置为点$A'$，此时俯角为$37°$，即$∠ PA'C=37°$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$\tan∠ PAC=\frac{PC}{AC}$，
$\therefore AC=\frac{PC}{\tan50°}\approx\frac{20}{1.19}\approx16.81\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ A'PC$中，$\tan∠ PA'C=\frac{PC}{A'C}$，
$\therefore A'C=\frac{PC}{\tan37°}\approx\frac{20}{0.75}\approx26.67\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$移动距离$AA'=A'C-AC\approx26.67-16.81\approx9.9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 不符合要求；
(2) 约9.9 cm
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合生活护眼情境考查解直角三角形的实际应用，解题关键是将俯角转化为直角三角形的内角，结合已知边的类型选择合适的锐角三角函数求解，既考查基础知识应用，又体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.7
9.[新课标—综合与实践题]为传承运河文明,弘扬民族精神,山东省枣庄市政府重建了台儿庄古城.某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼(如图1)高度的实践活动,请你帮他们完成下面的实践报告.
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
| 活动课题 | 测量台儿庄古城城门楼高度 |
| --- | --- |
| 活动目的 | 运用三角函数知识解决实际问题 |
| 活动工具 | 测角仪、皮尺等测量工具 |
| 方案示意图 |
|
| 测量步骤 | (1)如图2,利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为$39°$；(2)前进了10 m到达A处(点A,B,O在同一水平线上,测角仪高度忽略不计),在A处测得P点的仰角为$56°$ |
| 参考数据 | $\sin 39° \approx 0.6, \cos 39° \approx 0.8, \tan 39° \approx 0.8, \sin 56° \approx 0.8, \cos 56° \approx 0.6, \tan 56° \approx 1.5$ |
| 计算城门楼OP的高度(结果保留整数) | |
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
| 活动课题 | 测量台儿庄古城城门楼高度 |
| --- | --- |
| 活动目的 | 运用三角函数知识解决实际问题 |
| 活动工具 | 测角仪、皮尺等测量工具 |
| 方案示意图 |
|| 测量步骤 | (1)如图2,利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为$39°$；(2)前进了10 m到达A处(点A,B,O在同一水平线上,测角仪高度忽略不计),在A处测得P点的仰角为$56°$ |
| 参考数据 | $\sin 39° \approx 0.6, \cos 39° \approx 0.8, \tan 39° \approx 0.8, \sin 56° \approx 0.8, \cos 56° \approx 0.6, \tan 56° \approx 1.5$ |
| 计算城门楼OP的高度(结果保留整数) | |
答案
9. 台儿庄古城城门楼的高度约为 17 m.
解析
【分析】
本题属于利用仰角解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：1. 先确定图中存在两个共直角边OP的直角三角形Rt△POA、Rt△POB，且已知AB=10m，即OB-OA=10m；2. 设城门楼高度OP为x米，分别利用两个仰角的正切值表示出OA、OB的长度；3. 根据OB与OA的长度差列方程，代入参考数据求解即可得到OP的高度。
【解析】
解：设城门楼OP的高度为x m。
在Rt△POA中，∠PAO=56°，由$\tan∠ PAO=\frac{OP}{OA}$，得：
$OA=\frac{OP}{\tan56°}\approx\frac{x}{1.5}$
在Rt△POB中，∠PBO=39°，由$\tan∠ PBO=\frac{OP}{OB}$，得：
$OB=\frac{OP}{\tan39°}\approx\frac{x}{0.8}$
∵A、B、O在同一直线上，且AB=10m，
∴$OB - OA = 10$，代入得：
$\frac{x}{0.8}-\frac{x}{1.5}=10$
整理计算得：$0.7x=12$，解得$x=\frac{12}{0.7}\approx17$
【答案】
台儿庄古城城门楼的高度约为 17 m。
【知识点】
解直角三角形应用，仰角问题，三角函数计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查三角函数的应用，解题核心是从实际问题中抽象出共边双直角三角形模型，利用公共边建立等量关系列方程求解，贴近生活，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
本题属于利用仰角解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：1. 先确定图中存在两个共直角边OP的直角三角形Rt△POA、Rt△POB，且已知AB=10m，即OB-OA=10m；2. 设城门楼高度OP为x米，分别利用两个仰角的正切值表示出OA、OB的长度；3. 根据OB与OA的长度差列方程，代入参考数据求解即可得到OP的高度。
【解析】
解：设城门楼OP的高度为x m。
在Rt△POA中，∠PAO=56°，由$\tan∠ PAO=\frac{OP}{OA}$，得：
$OA=\frac{OP}{\tan56°}\approx\frac{x}{1.5}$
在Rt△POB中，∠PBO=39°，由$\tan∠ PBO=\frac{OP}{OB}$，得：
$OB=\frac{OP}{\tan39°}\approx\frac{x}{0.8}$
∵A、B、O在同一直线上，且AB=10m，
∴$OB - OA = 10$，代入得：
$\frac{x}{0.8}-\frac{x}{1.5}=10$
整理计算得：$0.7x=12$，解得$x=\frac{12}{0.7}\approx17$
【答案】
台儿庄古城城门楼的高度约为 17 m。
【知识点】
解直角三角形应用，仰角问题，三角函数计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查三角函数的应用，解题核心是从实际问题中抽象出共边双直角三角形模型，利用公共边建立等量关系列方程求解，贴近生活，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
