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1. [2025·合肥四十五中期末]已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，则$\tan A$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查锐角正切的计算，解题思路如下：首先回忆直角三角形中锐角正切的定义：锐角的正切值等于这个角的对边长度与邻边长度的比值；接着确定∠A的对边和邻边：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边是BC，邻边是直角边AC；最后代入已知边长计算比值即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义，锐角$A$的正切值为$∠ A$的对边与邻边的比值，即：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
已知$AC=4$，$BC=2$，代入数值计算得：
$\tan A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义；直角三角形边角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对锐角正切定义的掌握，解题的关键是准确区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆边的对应关系导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查锐角正切的计算，解题思路如下：首先回忆直角三角形中锐角正切的定义：锐角的正切值等于这个角的对边长度与邻边长度的比值；接着确定∠A的对边和邻边：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边是BC，邻边是直角边AC；最后代入已知边长计算比值即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义，锐角$A$的正切值为$∠ A$的对边与邻边的比值，即：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
已知$AC=4$，$BC=2$，代入数值计算得：
$\tan A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义；直角三角形边角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对锐角正切定义的掌握，解题的关键是准确区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆边的对应关系导致计算错误。
【难度系数】
0.9
变式训练
由边长求正切值→由正切值求边长
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$\tan B=\dfrac{4}{3}$，则
AC 的长为 （
A.3
B.4
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
由边长求正切值→由正切值求边长
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$\tan B=\dfrac{4}{3}$，则
AC 的长为 （
B
）A.3
B.4
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
【变式训练】B
解析
【分析】
本题是直角三角形中结合正切值求边长的基础题，解题思路如下：第一步，回忆锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，据此得到∠B的对边AC和邻边BC的比例关系；第二步，根据比例关系设参数表示两条直角边的长度；第三步，结合已知斜边AB的长度，利用勾股定理列方程求解参数，最终算出AC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3}$
设$AC=4k$，$BC=3k$（$k＞0$），
由勾股定理可知：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
将$AB=5$，$AC=4k$，$BC=3k$代入得：
$(4k)^2 + (3k)^2 = 5^2$
化简得：$16k^2 + 9k^2 = 25$，即$25k^2=25$，
解得$k=1$（边长为正，舍去负根），
因此$AC=4k=4×1=4$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，勾股定理
【点评】
本题核心考查锐角三角函数定义与勾股定理的结合应用，解题关键是通过正切值建立两条直角边的数量关系，再结合勾股定理列方程求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中结合正切值求边长的基础题，解题思路如下：第一步，回忆锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，据此得到∠B的对边AC和邻边BC的比例关系；第二步，根据比例关系设参数表示两条直角边的长度；第三步，结合已知斜边AB的长度，利用勾股定理列方程求解参数，最终算出AC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3}$
设$AC=4k$，$BC=3k$（$k＞0$），
由勾股定理可知：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
将$AB=5$，$AC=4k$，$BC=3k$代入得：
$(4k)^2 + (3k)^2 = 5^2$
化简得：$16k^2 + 9k^2 = 25$，即$25k^2=25$，
解得$k=1$（边长为正，舍去负根），
因此$AC=4k=4×1=4$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义，勾股定理
【点评】
本题核心考查锐角三角函数定义与勾股定理的结合应用，解题关键是通过正切值建立两条直角边的数量关系，再结合勾股定理列方程求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若各边都扩大到原来的3倍，则$∠ A$的正切值（
A.扩大到原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
C
）A.扩大到原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆正切的定义：直角三角形中锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。再分析边长变化对该比值的影响：各边同时扩大3倍时，∠A的对边和邻边会同时扩大3倍，相当于比值的分子、分母同时乘3，约分后比值不变；也可从相似角度判断，边长同倍数扩大后得到的新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此其正切值也不变。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：$\tan A=\frac{BC}{AC}$（$BC$为∠A的对边，$AC$为∠A的邻边）。
若各边都扩大到原来的3倍，新三角形的对应边为$3BC$、$3AC$、$3AB$，此时$\tan A'=\frac{3BC}{3AC}=\frac{BC}{AC}$，与原来的$\tan A$完全相等，因此∠A的正切值不变。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；相似三角形的性质；锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，锐角三角函数值仅和对应角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关，解题时不要被边长变化的干扰条件误导。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正切的定义：直角三角形中锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。再分析边长变化对该比值的影响：各边同时扩大3倍时，∠A的对边和邻边会同时扩大3倍，相当于比值的分子、分母同时乘3，约分后比值不变；也可从相似角度判断，边长同倍数扩大后得到的新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此其正切值也不变。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义可得：$\tan A=\frac{BC}{AC}$（$BC$为∠A的对边，$AC$为∠A的邻边）。
若各边都扩大到原来的3倍，新三角形的对应边为$3BC$、$3AC$、$3AB$，此时$\tan A'=\frac{3BC}{3AC}=\frac{BC}{AC}$，与原来的$\tan A$完全相等，因此∠A的正切值不变。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；相似三角形的性质；锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，锐角三角函数值仅和对应角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关，解题时不要被边长变化的干扰条件误导。
【难度系数】
0.9
3. [教材P137习题23.1第2题改编]如图，点$P(12,a)$在反比例函数$y=\frac{60}{x}(x＞0)$的图象上，$PH ⊥ x$轴于点$H$，则$\tan ∠ POH$的值为
$\frac{5}{12}$
。答案
3.$\frac{5}{12}$
解析
【分析】
解题时按照三步思路推导：第一步，利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点P的横坐标代入反比例函数表达式，求出纵坐标a的值；第二步，根据PH垂直x轴的条件，确定直角三角形POH的两条直角边OH、PH的长度；第三步，结合正切的定义，即直角三角形中锐角的正切值为对边与邻边的比值，计算所求正切值。
【解析】
∵点$P(12,a)$在反比例函数$y=\frac{60}{x}(x＞0)$的图象上，
∴把$x=12$代入$y=\frac{60}{x}$，得$a=\frac{60}{12}=5$，即$P(12,5)$。
∵$PH⊥x$轴于点$H$，
∴$OH=12$，$PH=5$，$△ POH$是直角三角形。
根据正切的定义，在$Rt△ POH$中，$\tan∠ POH=\frac{\mathrm{∠POH的对边}}{\mathrm{∠POH的邻边}}=\frac{PH}{OH}=\frac{5}{12}$。
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；正切的定义
【点评】
本题是基础综合题，将反比例函数性质和锐角三角函数定义结合考查，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时按照三步思路推导：第一步，利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点P的横坐标代入反比例函数表达式，求出纵坐标a的值；第二步，根据PH垂直x轴的条件，确定直角三角形POH的两条直角边OH、PH的长度；第三步，结合正切的定义，即直角三角形中锐角的正切值为对边与邻边的比值，计算所求正切值。
【解析】
∵点$P(12,a)$在反比例函数$y=\frac{60}{x}(x＞0)$的图象上，
∴把$x=12$代入$y=\frac{60}{x}$，得$a=\frac{60}{12}=5$，即$P(12,5)$。
∵$PH⊥x$轴于点$H$，
∴$OH=12$，$PH=5$，$△ POH$是直角三角形。
根据正切的定义，在$Rt△ POH$中，$\tan∠ POH=\frac{\mathrm{∠POH的对边}}{\mathrm{∠POH的邻边}}=\frac{PH}{OH}=\frac{5}{12}$。
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；正切的定义
【点评】
本题是基础综合题，将反比例函数性质和锐角三角函数定义结合考查，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在锐角$△ ABC$中,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$BC=9\ \mathrm{cm}$,$\tan B=\dfrac{3}{4}$,求$△ ABC$的面积. 
答案
4.27
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知底边BC的长度，只需要求出BC边上的高即可。我们可以过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形ABD，结合已知的tanB的值，可得到直角边AD与BD的比例关系，再结合AB的长度利用勾股定理求出AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，$\tan B=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{3}{4}$，因此设$AD=3k\ \mathrm{cm}$，$BD=4k\ \mathrm{cm}$（$k＞0$）。
根据勾股定理，$AD^2+BD^2=AB^2$，代入$AB=10\ \mathrm{cm}$得：
$(3k)^2+(4k)^2=10^2$
$9k^2+16k^2=100$
$25k^2=100$
解得$k=2$（$k＞0$），因此$AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入$BC=9\ \mathrm{cm}$，$AD=6\ \mathrm{cm}$得：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×9×6=27\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
27
【知识点】
正切的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是通过作高构造直角三角形，将锐角三角函数的正切值转化为直角边的比例关系，结合勾股定理求出三角形的高，进而计算面积，是锐角三角函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的面积，已知底边BC的长度，只需要求出BC边上的高即可。我们可以过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形ABD，结合已知的tanB的值，可得到直角边AD与BD的比例关系，再结合AB的长度利用勾股定理求出AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，$\tan B=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{3}{4}$，因此设$AD=3k\ \mathrm{cm}$，$BD=4k\ \mathrm{cm}$（$k＞0$）。
根据勾股定理，$AD^2+BD^2=AB^2$，代入$AB=10\ \mathrm{cm}$得：
$(3k)^2+(4k)^2=10^2$
$9k^2+16k^2=100$
$25k^2=100$
解得$k=2$（$k＞0$），因此$AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入$BC=9\ \mathrm{cm}$，$AD=6\ \mathrm{cm}$得：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×9×6=27\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
27
【知识点】
正切的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是通过作高构造直角三角形，将锐角三角函数的正切值转化为直角边的比例关系，结合勾股定理求出三角形的高，进而计算面积，是锐角三角函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示的滑梯中，滑板AB的长度为$2\sqrt{2}$ m，滑梯高度AC为2 m，则滑梯的坡度为（
A.$1:1$
B.$\sqrt{2}:1$
C.$\sqrt{2}:2$
D.$2:1$
第5题图 第6题图
A
）A.$1:1$
B.$\sqrt{2}:1$
C.$\sqrt{2}:2$
D.$2:1$
第5题图 第6题图
答案
5.A
解析
【分析】
首先由图可知AC垂直于BC，△ABC为直角三角形。要计算滑梯的坡度，需先明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值。因此解题步骤为：第一步利用勾股定理求出水平宽度BC的长度，第二步计算垂直高度AC与水平宽度BC的比值，即可得到滑梯的坡度。
【解析】
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AB=2√2 m，AC=2 m，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{8-4}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$
根据坡度的定义，坡度 = 垂直高度 : 水平宽度 = $AC:BC=2:2=1:1$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，坡度的定义
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题核心是准确掌握坡度的定义，结合勾股定理求出水平宽度即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.85
首先由图可知AC垂直于BC，△ABC为直角三角形。要计算滑梯的坡度，需先明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值。因此解题步骤为：第一步利用勾股定理求出水平宽度BC的长度，第二步计算垂直高度AC与水平宽度BC的比值，即可得到滑梯的坡度。
【解析】
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AB=2√2 m，AC=2 m，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{8-4}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$
根据坡度的定义，坡度 = 垂直高度 : 水平宽度 = $AC:BC=2:2=1:1$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，坡度的定义
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题核心是准确掌握坡度的定义，结合勾股定理求出水平宽度即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.85
6.[2026·阜阳校级一模]如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=6 m，则坡面AB的长度为
$6\sqrt{10}$
m.答案
6.$6\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时首先明确坡比的定义：坡面的垂直高度和水平宽度的比值叫做坡比。本题中已知迎水坡AB的坡比为1:3，堤高BC=6m，我们可以先利用坡比求出水平宽度AC的长度，再在直角三角形ABC中运用勾股定理计算出坡面AB的长度即可。
【解析】
解：由坡比的定义可知，$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$
已知$BC=6\ \mathrm{m}$，代入得：$\frac{6}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=18\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{18^2+6^2}=\sqrt{324+36}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
【答案】
$6\sqrt{10}$
【知识点】
坡比的概念，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用，解题的核心是正确理解坡比的含义，结合勾股定理即可快速求出结果，注重对基础概念和公式的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确坡比的定义：坡面的垂直高度和水平宽度的比值叫做坡比。本题中已知迎水坡AB的坡比为1:3，堤高BC=6m，我们可以先利用坡比求出水平宽度AC的长度，再在直角三角形ABC中运用勾股定理计算出坡面AB的长度即可。
【解析】
解：由坡比的定义可知，$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$
已知$BC=6\ \mathrm{m}$，代入得：$\frac{6}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=18\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{18^2+6^2}=\sqrt{324+36}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
【答案】
$6\sqrt{10}$
【知识点】
坡比的概念，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用，解题的核心是正确理解坡比的含义，结合勾股定理即可快速求出结果，注重对基础概念和公式的考查。
【难度系数】
0.8
7.[新课标—情境题]如图,将两根木棒AB(长5 m),CD(长3 m)分别斜靠在墙上,其中BE=3 m,DE=1 m,请通过计算说明哪根木棒更陡.
答案
7. 木棒CD更陡.理由略.
解析
【分析】
要判断哪根木棒更陡，本质是比较两根木棒与水平面（BD）夹角的正切值大小，正切值越大，倾斜角越大，木棒越陡。首先图中△ABE和△CDE均为直角三角形，先利用勾股定理分别求出墙面方向的直角边AE、CE的长度，再分别计算两个倾斜角的正切值，比较大小即可得出结论。
【解析】
解：由题意得AE⊥BD，即∠AEB=∠CED=90°。
1. 在Rt△ABE中，AB=5m，BE=3m，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(\mathrm{m})$
则木棒AB与地面夹角∠B的正切值为：
$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}\approx1.33$
2. 在Rt△CDE中，CD=3m，DE=1m，根据勾股定理：
$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}\approx2.83$
则木棒CD与地面夹角∠D的正切值为：
$\tan D=\frac{CE}{DE}=\frac{2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}\approx2.83$
$\because 2\sqrt{2}＞\frac{4}{3}$，即$\tan D＞\tan B$
$\therefore ∠D＞∠B$，木棒CD更陡。
【答案】
木棒CD更陡
【知识点】
勾股定理，正切的应用，坡度坡角
【点评】
本题结合生活实际考查正切的应用，解题核心是理解“陡缓”对应倾斜角正切值的大小，需结合勾股定理求解直角边长后再比较正切值即可得出结果。
【难度系数】
0.7
要判断哪根木棒更陡，本质是比较两根木棒与水平面（BD）夹角的正切值大小，正切值越大，倾斜角越大，木棒越陡。首先图中△ABE和△CDE均为直角三角形，先利用勾股定理分别求出墙面方向的直角边AE、CE的长度，再分别计算两个倾斜角的正切值，比较大小即可得出结论。
【解析】
解：由题意得AE⊥BD，即∠AEB=∠CED=90°。
1. 在Rt△ABE中，AB=5m，BE=3m，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(\mathrm{m})$
则木棒AB与地面夹角∠B的正切值为：
$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}\approx1.33$
2. 在Rt△CDE中，CD=3m，DE=1m，根据勾股定理：
$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}\approx2.83$
则木棒CD与地面夹角∠D的正切值为：
$\tan D=\frac{CE}{DE}=\frac{2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}\approx2.83$
$\because 2\sqrt{2}＞\frac{4}{3}$，即$\tan D＞\tan B$
$\therefore ∠D＞∠B$，木棒CD更陡。
【答案】
木棒CD更陡
【知识点】
勾股定理，正切的应用，坡度坡角
【点评】
本题结合生活实际考查正切的应用，解题核心是理解“陡缓”对应倾斜角正切值的大小，需结合勾股定理求解直角边长后再比较正切值即可得出结果。
【难度系数】
0.7
