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| 变式训练 1 | 如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面，从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝。已知此三棱镜的高为5 cm，底面边长为4 cm，则这圈金属丝的长度至少为
13 cm
。答案
13 cm
解析
【分析】
要求三棱镜侧面上从A到A'的金属丝最短长度，属于立体图形表面的最短路径问题，解题思路是“化曲为直”：先将三棱镜的侧面展开为平面图形，根据两点之间线段最短，展开后连接A和A'的线段长度就是最短路径。首先确定展开后平面图形的尺寸：三棱镜底面是等边三角形，侧面展开后得到长方形，长方形的宽等于三棱镜的高，长方形的长等于底面等边三角形的周长，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 将三棱镜的侧面沿侧棱AA'剪开，展开得到一个长方形：
长方形的宽 = 三棱镜的高 = 5cm，
长方形的长 = 底面等边三角形的周长 = $3× 4=12$cm。
2. 展开后，点A与点A'的最短连线为该长方形的对角线，根据勾股定理：
金属丝最短长度 = $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169}=13$（cm）。
【答案】
13 cm
【知识点】
最短路径问题、勾股定理、立体图形展开
【点评】
本题核心考查立体图形表面最短路径的求解方法，关键是掌握“化曲为直”的转化思想，将立体侧面展开为平面图形后结合勾股定理计算，是几何应用类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要求三棱镜侧面上从A到A'的金属丝最短长度，属于立体图形表面的最短路径问题，解题思路是“化曲为直”：先将三棱镜的侧面展开为平面图形，根据两点之间线段最短，展开后连接A和A'的线段长度就是最短路径。首先确定展开后平面图形的尺寸：三棱镜底面是等边三角形，侧面展开后得到长方形，长方形的宽等于三棱镜的高，长方形的长等于底面等边三角形的周长，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 将三棱镜的侧面沿侧棱AA'剪开，展开得到一个长方形：
长方形的宽 = 三棱镜的高 = 5cm，
长方形的长 = 底面等边三角形的周长 = $3× 4=12$cm。
2. 展开后，点A与点A'的最短连线为该长方形的对角线，根据勾股定理：
金属丝最短长度 = $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169}=13$（cm）。
【答案】
13 cm
【知识点】
最短路径问题、勾股定理、立体图形展开
【点评】
本题核心考查立体图形表面最短路径的求解方法，关键是掌握“化曲为直”的转化思想，将立体侧面展开为平面图形后结合勾股定理计算，是几何应用类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
例2 如图,在高为3 m、斜坡长为5 m的楼梯表面铺地毯。
(1)至少需要多少米地毯?
(2)如果楼梯宽2 m,地毯每平方米30元,那么购买这块地毯需要花费多少元?
[点拨] 此题考查勾股定理的应用及平移的知识,属于基础题。
(1)先利用勾股定理求出AC的长度,再利用平移的知识可得出地毯的长度。
(2)求出所需地毯的面积,继而可得出答案。
[解] (1)$∠ C=90°$, $AB=5$ m, $BC=3$ m。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得
$AC^2=AB^2-BC^2=5^2-3^2=16$,
所以$AC=4$ m。
故地毯的长度为$AC+BC=7$ m。
(2)$7×2×30=420$(元)。
答:购买这块地毯需要花费420元。
(1)至少需要多少米地毯?
(2)如果楼梯宽2 m,地毯每平方米30元,那么购买这块地毯需要花费多少元?
[点拨] 此题考查勾股定理的应用及平移的知识,属于基础题。
(1)先利用勾股定理求出AC的长度,再利用平移的知识可得出地毯的长度。
(2)求出所需地毯的面积,继而可得出答案。
[解] (1)$∠ C=90°$, $AB=5$ m, $BC=3$ m。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得
$AC^2=AB^2-BC^2=5^2-3^2=16$,
所以$AC=4$ m。
故地毯的长度为$AC+BC=7$ m。
(2)$7×2×30=420$(元)。
答:购买这块地毯需要花费420元。
答案
解：
(1) 由题意可知$∠ C=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=5^2-3^2=16$
所以$AC=4\ \mathrm{m}$。
根据平移的性质，所有水平台阶的长度之和等于$AC$的长度，所有竖直台阶的高度之和等于$BC$的长度，因此地毯的总长度为$AC+BC=4+3=7\ \mathrm{m}$。
(2) 地毯的总面积为$7×2=14\ \mathrm{m}^2$，
总花费为$14×30=420$（元）。
答：(1) 至少需要7米地毯；(2) 购买这块地毯需要花费420元。
(1) 由题意可知$∠ C=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=5^2-3^2=16$
所以$AC=4\ \mathrm{m}$。
根据平移的性质，所有水平台阶的长度之和等于$AC$的长度，所有竖直台阶的高度之和等于$BC$的长度，因此地毯的总长度为$AC+BC=4+3=7\ \mathrm{m}$。
(2) 地毯的总面积为$7×2=14\ \mathrm{m}^2$，
总花费为$14×30=420$（元）。
答：(1) 至少需要7米地毯；(2) 购买这块地毯需要花费420元。
解析
【分析】
要解决这道题我们可以分两步思考：
1. 求地毯长度：楼梯表面的地毯可拆分为所有水平台阶的长度和、所有竖直台阶的高度和两部分。根据平移的性质，所有水平台阶的长度之和刚好等于直角三角形的水平直角边AC的长度，所有竖直台阶的高度之和刚好等于竖直直角边BC的长度。已知直角三角形斜边AB和竖直边BC，我们先用勾股定理算出AC的长度，再把AC和BC相加就能得到地毯的总长度。
2. 求总花费：地毯是长方形，长是第一步算出的地毯总长度，宽是题目给出的2m，先算出地毯的面积，再用面积乘每平方米的价格，即可得到总花费。
【解析】
(1) 由题意得$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：
$AC^2=AB^2-BC^2=5^2-3^2=25-9=16$，
因此$AC=4\ \mathrm{m}$（长度为正数，舍去负根）。
根据平移的性质，所有水平台阶长度之和等于AC的长度，所有竖直台阶高度之和等于BC的长度，因此地毯总长度为$AC+BC=4+3=7\ \mathrm{m}$。
(2) 地毯为长方形，长为7m，宽为2m，
地毯面积：$7×2=14$（平方米）
总花费：$14×30=420$（元）
【答案】
(1) 至少需要7米地毯；
(2) 购买这块地毯需要花费420元。
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，长方形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题的核心是利用平移的性质将地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，既考查了基础几何知识的应用，也体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题我们可以分两步思考：
1. 求地毯长度：楼梯表面的地毯可拆分为所有水平台阶的长度和、所有竖直台阶的高度和两部分。根据平移的性质，所有水平台阶的长度之和刚好等于直角三角形的水平直角边AC的长度，所有竖直台阶的高度之和刚好等于竖直直角边BC的长度。已知直角三角形斜边AB和竖直边BC，我们先用勾股定理算出AC的长度，再把AC和BC相加就能得到地毯的总长度。
2. 求总花费：地毯是长方形，长是第一步算出的地毯总长度，宽是题目给出的2m，先算出地毯的面积，再用面积乘每平方米的价格，即可得到总花费。
【解析】
(1) 由题意得$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：
$AC^2=AB^2-BC^2=5^2-3^2=25-9=16$，
因此$AC=4\ \mathrm{m}$（长度为正数，舍去负根）。
根据平移的性质，所有水平台阶长度之和等于AC的长度，所有竖直台阶高度之和等于BC的长度，因此地毯总长度为$AC+BC=4+3=7\ \mathrm{m}$。
(2) 地毯为长方形，长为7m，宽为2m，
地毯面积：$7×2=14$（平方米）
总花费：$14×30=420$（元）
【答案】
(1) 至少需要7米地毯；
(2) 购买这块地毯需要花费420元。
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，长方形面积计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题的核心是利用平移的性质将地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，既考查了基础几何知识的应用，也体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
| 变式训练2 | 如图，在离水面高度为8 m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m。几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10 m，则船向岸边移动了多少米？
答案
解:在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
因为$∠ CAB=90°,BC=17\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AB^2=BC^2-AC^2=17^2-8^2=15^2$，
所以$AB=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,因为$CD=10\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AD^2=CD^2-AC^2=10^2-8^2=6^2$，
所以$AD=6\ \mathrm{m}$。
所以$BD=AB-AD=15\ \mathrm{m}-6\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{m}$。
因为$∠ CAB=90°,BC=17\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AB^2=BC^2-AC^2=17^2-8^2=15^2$，
所以$AB=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,因为$CD=10\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AD^2=CD^2-AC^2=10^2-8^2=6^2$，
所以$AD=6\ \mathrm{m}$。
所以$BD=AB-AD=15\ \mathrm{m}-6\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先观察图形可知△CAB和△CAD都是直角三角形，且岸的高度AC=8m是固定不变的量。我们可以先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出初始状态下船到岸边的距离AB，再在Rt△ACD中，用勾股定理求出船移动到D点时到岸边的距离AD，最后用AB减去AD得到的差值就是船向岸边移动的距离BD。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
因为$∠ CAB=90°,BC=17\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AB^2=BC^2-AC^2=17^2-8^2=289-64=225=15^2$，
所以$AB=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，因为$∠CAD=90°,CD=10\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AD^2=CD^2-AC^2=10^2-8^2=100-64=36=6^2$，
所以$AD=6\ \mathrm{m}$。
所以$BD=AB-AD=15\ \mathrm{m}-6\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
船向岸边移动了9米
【知识点】
1.勾股定理 2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题的核心是抓住不变的垂直高度，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，计算难度低，侧重对勾股定理基础应用的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形可知△CAB和△CAD都是直角三角形，且岸的高度AC=8m是固定不变的量。我们可以先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出初始状态下船到岸边的距离AB，再在Rt△ACD中，用勾股定理求出船移动到D点时到岸边的距离AD，最后用AB减去AD得到的差值就是船向岸边移动的距离BD。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
因为$∠ CAB=90°,BC=17\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AB^2=BC^2-AC^2=17^2-8^2=289-64=225=15^2$，
所以$AB=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，因为$∠CAD=90°,CD=10\ \mathrm{m},AC=8\ \mathrm{m}$，
所以$AD^2=CD^2-AC^2=10^2-8^2=100-64=36=6^2$，
所以$AD=6\ \mathrm{m}$。
所以$BD=AB-AD=15\ \mathrm{m}-6\ \mathrm{m}=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
船向岸边移动了9米
【知识点】
1.勾股定理 2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题的核心是抓住不变的垂直高度，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，计算难度低，侧重对勾股定理基础应用的考查。
【难度系数】
0.8
1.如图,小明将一张长为20 cm、宽为15 cm的长方形纸(AE＞DE)剪去了一角,量得AB=3 cm,CD=4 cm,则剪去的直角三角形的斜边长为(
A.5 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm
D
)A.5 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm
答案
1. D
解析
【分析】
解题时可采用补形法还原被剪去的直角三角形：首先根据原长方形长20cm、宽15cm且AE＞DE，确定AE是长20cm、DE是宽15cm，延长AB和DC交于一点F，得到的直角三角形FBC就是被剪去的部分，再求出该直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理计算斜边即可。
【解析】
解：延长AB交DC的延长线于点F，
∵原图形是长方形，
∴∠F=90°，
由题意得：BF=DE - AB=15 - 3=12(cm)，
CF=AE - CD=20 - 4=16(cm)，
在Rt△BCF中，根据勾股定理：
$BC^2=BF^2 + CF^2=12^2 + 16^2=144 + 256=400$，
∴$BC=\sqrt{400}=20$（cm），
即剪去的直角三角形的斜边长为20cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题主要考查补形法在几何计算中的应用，需要学生结合矩形的性质找到被剪直角三角形的直角边长度，再用勾股定理求解，能锻炼学生的图形转化能力。
【难度系数】
0.7
解题时可采用补形法还原被剪去的直角三角形：首先根据原长方形长20cm、宽15cm且AE＞DE，确定AE是长20cm、DE是宽15cm，延长AB和DC交于一点F，得到的直角三角形FBC就是被剪去的部分，再求出该直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理计算斜边即可。
【解析】
解：延长AB交DC的延长线于点F，
∵原图形是长方形，
∴∠F=90°，
由题意得：BF=DE - AB=15 - 3=12(cm)，
CF=AE - CD=20 - 4=16(cm)，
在Rt△BCF中，根据勾股定理：
$BC^2=BF^2 + CF^2=12^2 + 16^2=144 + 256=400$，
∴$BC=\sqrt{400}=20$（cm），
即剪去的直角三角形的斜边长为20cm。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题主要考查补形法在几何计算中的应用，需要学生结合矩形的性质找到被剪直角三角形的直角边长度，再用勾股定理求解，能锻炼学生的图形转化能力。
【难度系数】
0.7
2.如图,小巷左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m。梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5 m,则小巷的宽度为(
A.2.7 m
B.2.5 m
C.2.0 m
D.1.8 m
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.2.7 m
B.2.5 m
C.2.0 m
D.1.8 m
(第1题图)
(第2题图)
答案
2. A
解析
【分析】
解题首先要抓住隐含条件：梯子的长度始终不变。本题可以分两步思考：第一步，梯子斜靠在左墙时，形成直角三角形，已知两条直角边的长度，可根据勾股定理求出梯子的长度；第二步，梯子斜靠在右墙时，再次形成直角三角形，已知梯子长度和竖直高度，再用勾股定理求出梯子底端到右墙角的水平距离；最后将左右两段水平距离相加，就得到小巷的宽度。
【解析】
首先利用勾股定理计算梯子的长度：
当梯子斜靠在左墙时，直角三角形的两条直角边分别为0.7m（水平）、2.4m（竖直），设梯子长度为$ L $，则：
$ L^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25 $
解得 $ L = 2.5\ \mathrm{m} $（长度为正，舍去负根）。
当梯子斜靠在右墙时，设梯子底端到右墙角的距离为$ x\ \mathrm{m} $，此时直角三角形的竖直直角边为1.5m，斜边为梯子长度2.5m，根据勾股定理：
$ x^2 + 1.5^2 = 2.5^2 $
即 $ x^2 = 6.25 - 2.25 = 4 $
解得 $ x = 2\ \mathrm{m} $（长度为正，舍去负根）。
因此小巷的宽度为：$ 0.7 + 2 = 2.7\ \mathrm{m} $。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，通过两次应用勾股定理分别求出对应水平距离，再求和得到结果，计算时注意平方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题首先要抓住隐含条件：梯子的长度始终不变。本题可以分两步思考：第一步，梯子斜靠在左墙时，形成直角三角形，已知两条直角边的长度，可根据勾股定理求出梯子的长度；第二步，梯子斜靠在右墙时，再次形成直角三角形，已知梯子长度和竖直高度，再用勾股定理求出梯子底端到右墙角的水平距离；最后将左右两段水平距离相加，就得到小巷的宽度。
【解析】
首先利用勾股定理计算梯子的长度：
当梯子斜靠在左墙时，直角三角形的两条直角边分别为0.7m（水平）、2.4m（竖直），设梯子长度为$ L $，则：
$ L^2 = 0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25 $
解得 $ L = 2.5\ \mathrm{m} $（长度为正，舍去负根）。
当梯子斜靠在右墙时，设梯子底端到右墙角的距离为$ x\ \mathrm{m} $，此时直角三角形的竖直直角边为1.5m，斜边为梯子长度2.5m，根据勾股定理：
$ x^2 + 1.5^2 = 2.5^2 $
即 $ x^2 = 6.25 - 2.25 = 4 $
解得 $ x = 2\ \mathrm{m} $（长度为正，舍去负根）。
因此小巷的宽度为：$ 0.7 + 2 = 2.7\ \mathrm{m} $。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，通过两次应用勾股定理分别求出对应水平距离，再求和得到结果，计算时注意平方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
