【例3】下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活的情况：
移植总数n | 400 | 1 500 | 3 500 | 7 000 | 9 000 | 14 000
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
成活数m | 325 | 136 | 3 203 | 6 335 | 8 073 | 12 628
成活的频率(精确到0.01) | 0.813 | 0.891 | 0.915 | 0.905 | 0.897 | 0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是.(精确到0.1)

0.9

【分析】
要解决这道题，需用到频率估计概率的原理：当大量重复进行同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。解题时先观察表格中随着移植总数增大，成活频率的稳定值，再按题目要求精确到0.1即可。
【解析】
解：在大量重复移植幼树的试验中，随着移植总数$n$的不断增大，幼树成活的频率逐渐稳定在0.9附近（观察$n≥7000$时，成活频率分别为0.905、0.897、0.902，均接近0.9）。根据频率估计概率的原理，结合题目精确到0.1的要求，可得这种幼树在此条件下移植成活的概率约为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
频率估计概率；近似数
【点评】
本题是频率估计概率的基础应用题，核心是理解“大量试验下频率的稳定值即为概率”的规律，解题时注意观察大样本量下的频率值，同时要符合题目要求的精确度。
【难度系数】
0.9

练习3为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池.一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是鱼池.(填甲或乙)

甲

【分析】
本题是利用标记重捕法估计总体数量的实际应用问题，核心解题思路是用样本的比例特征估计总体的比例特征：第一次捞出100条做记号放回后，标记鱼苗在鱼池总鱼苗中的占比是固定的，等于重捕样本中标记鱼苗的占比，据此分别计算甲、乙两鱼池的总鱼苗数，再比较大小即可。
【解析】
设甲鱼池总鱼苗数为$ x $条，乙鱼池总鱼苗数为$ y $条。
根据样本占比近似等于总体占比的原理：
对于甲鱼池：$\frac{100}{x} \approx \frac{5}{100}$
解得：$ x \approx \frac{100 × 100}{5} = 2000 $条
对于乙鱼池：$\frac{100}{y} \approx \frac{10}{100}$
解得：$ y \approx \frac{100 × 100}{10} = 1000 $条
因为$ 2000 ＞ 1000 $，所以鱼苗数目较多的是甲鱼池。
【答案】
甲
【知识点】
用样本估计总体；标记重捕法
【点评】
本题考查统计知识在实际生活中的应用，解题关键是明确重捕样本中标记个体的比例可近似代表总体中标记个体的比例，题目贴近生活场景，容易理解。
【难度系数】
0.7

【例4】右图是杭州第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”.
将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀.
(1)若从中任意抽取1张,抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是.
(2)若先从中任意抽取1张,记录后放回,洗匀,再从中任意抽取1张,求两次抽取的卡片图案相同的概率.(请用画树状图或列表的方法求解)

(1)$\frac{1}{3}$。(2)画树状图略,共有 9 种等可能出现的结果,其中两次抽取的卡片图案相同的有 3 种,所以概率为$\frac{1}{3}$。

【分析】
（1）本题考查一步古典概型的概率计算，依据古典概型概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{所有等可能的总情况数}}$求解即可：任意抽取1张卡片时，3种图案被抽到的可能性相等，总情况数为3，抽中“莲莲”的符合条件的情况数为1，代入公式就能得到结果。
（2）本题是放回型的两步概率问题，我们可以用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再从中筛选出两次抽取卡片图案相同的情况数，代入概率公式计算即可。由于是放回抽取，第一次抽取的每一种结果，第二次抽取时都对应3种可能，总共有$3×3=9$种等可能结果。
【解析】
（1）任意抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，其中抽得图案为“莲莲”的结果有1种，
因此抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）记宸宸为A，琮琮为B，莲莲为C，列表列举所有可能的结果如下：
| 第一次\第二次 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可得，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片图案相同的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种，
因此两次抽取的卡片图案相同的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础常考题，第一问是一步概率的直接应用，第二问考查放回型两步概率的求解，核心是掌握用列举法梳理所有等可能结果，再结合概率公式计算，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8

练习4一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同.每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.
(1)请你估计箱子里白色小球的个数.
(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率.(用画树状图或列表的方法)

(1)1个.(2)画树状图略,共有 16 种等可能出现的结果,其中颜色两次恰好不同的有 6 种,所以概率为$\frac{3}{8}$。

【分析】
（1）根据大量重复试验中频率稳定值近似等于概率的原理，可得摸到红色小球的概率为0.75。设白色小球个数为未知数，结合概率公式列方程求解即可得到白球个数。
（2）明确该摸球试验为放回试验，用树状图或列表法列举出两次摸球的所有等可能结果，再找出两次颜色恰好不同的结果数，最后用概率公式计算对应概率即可。
【解析】
(1) 设箱子里白色小球的个数为$x$个。
∵大量重复试验中，摸到红色小球的频率稳定于0.75，
∴摸到红色小球的概率$P(\mathrm{红})=0.75$。
根据概率公式可得：$\dfrac{3}{3+x}=0.75$，
解方程：$3=0.75×(3+x)$，
$3=2.25+0.75x$，
$0.75x=0.75$，
解得$x=1$。
经检验，$x=1$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 由(1)可知，箱子里共有3个红球，1个白球，共4个小球，摸球为放回试验。
通过列表或画树状图可得，两次摸球共有$4×4=16$种等可能的结果，其中两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有：第一次红第二次白（共3种）、第一次白第二次红（共3种），合计$3+3=6$种。
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率$P=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$。
【答案】
(1) $1$个；(2) $\dfrac{3}{8}$
【知识点】
频率估计概率；列表法（树状图法）求概率；概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，既考查了利用频率估计概率求解未知量的方法，又考查了两步放回试验的概率计算，解题时需注意区分放回试验和不放回试验的差异，准确列举所有等可能结果。
【难度系数】
0.75