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8.如图,从一块半径是1 m的圆形铁皮(⊙O)上剪出一个圆心角为$60°$的扇形(点A,B,C在⊙O上),将剪下的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面圆的半径是 (
A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m
B.$\frac{\sqrt{3}}{12}$ m
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ m
D.1 m
A
)A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$ m
B.$\frac{\sqrt{3}}{12}$ m
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ m
D.1 m
答案
8.A
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用“圆锥底面圆的周长 = 侧面展开扇形的弧长”这一等量关系求解。首先需要先求出剪下的扇形的半径（即弦AB的长度）：先结合圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，再用垂径定理和锐角三角函数计算AB的长度；接着用弧长公式算出扇形的弧长；最后根据周长相等的关系列方程，求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
1. 求扇形的半径AB的长度：
连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D。
已知⊙O的半径$OA=OB=1\ \mathrm{m}$，由$AB=AC$（扇形的两条半径相等），且$∠ BAC=60°$，可得$△ ABC$是等边三角形，$∠ ACB=60°$。
根据圆周角定理，弧AB对应的圆心角$∠ AOB=2∠ ACB=120°$。
由垂径定理可得$AD=BD$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=OA·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$，因此$AB=2AD=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即扇形的半径为$\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 计算扇形的弧长：
扇形的圆心角$n=60°$，半径$r_{扇}=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，根据弧长公式：
$l_{弧}=\frac{nπ r_{扇}}{180}=\frac{60×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{3}\ \mathrm{m}$
3. 求圆锥底面圆的半径$r$：
圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，即$2π r=l_{弧}$，代入弧长得：
$2π r=\frac{\sqrt{3}π}{3}$
两边同时约去$π$，解得$r=\frac{\sqrt{3}}{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于几何综合应用题，易错点是容易误将圆O的半径当成扇形的半径进行计算，解题时要明确扇形和圆锥各部分的对应关系，掌握弧长公式和垂径定理的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心思路是利用“圆锥底面圆的周长 = 侧面展开扇形的弧长”这一等量关系求解。首先需要先求出剪下的扇形的半径（即弦AB的长度）：先结合圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，再用垂径定理和锐角三角函数计算AB的长度；接着用弧长公式算出扇形的弧长；最后根据周长相等的关系列方程，求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
1. 求扇形的半径AB的长度：
连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D。
已知⊙O的半径$OA=OB=1\ \mathrm{m}$，由$AB=AC$（扇形的两条半径相等），且$∠ BAC=60°$，可得$△ ABC$是等边三角形，$∠ ACB=60°$。
根据圆周角定理，弧AB对应的圆心角$∠ AOB=2∠ ACB=120°$。
由垂径定理可得$AD=BD$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=OA·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$，因此$AB=2AD=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即扇形的半径为$\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 计算扇形的弧长：
扇形的圆心角$n=60°$，半径$r_{扇}=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，根据弧长公式：
$l_{弧}=\frac{nπ r_{扇}}{180}=\frac{60×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{3}\ \mathrm{m}$
3. 求圆锥底面圆的半径$r$：
圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，即$2π r=l_{弧}$，代入弧长得：
$2π r=\frac{\sqrt{3}π}{3}$
两边同时约去$π$，解得$r=\frac{\sqrt{3}}{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于几何综合应用题，易错点是容易误将圆O的半径当成扇形的半径进行计算，解题时要明确扇形和圆锥各部分的对应关系，掌握弧长公式和垂径定理的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.6
9.如图,在正方形纸板上剪下一个扇形和圆,围成一个圆锥模型,设围成的圆锥底面半径为r,母线长为R,正方形的边长为a,则用r表示a为
$(1+\frac{5}{2}\sqrt{2})r$
.答案
9.$(1+\dfrac{5}{2}\sqrt{2})r$
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步，利用圆锥侧面展开图的核心性质——扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，先推导母线$R$和底面半径$r$的数量关系；第二步，结合图形位置特征分析：小圆与正方形的上边、右边均相切，扇形圆心在正方形左下角，二者圆心连线恰好是正方形的对角线，据此建立对角线长度的等量关系，代入$R$与$r$的关系即可推导出$a$用$r$表示的式子。
【解析】
解：① 推导母线$R$与底面半径$r$的关系：
圆锥侧面展开图是圆心角为$90°$的扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列等式：
$\frac{90°}{360°} × 2π R = 2π r$
化简得：$\frac{1}{2}π R = 2π r$，约去$π$后得$R=4r$。
② 结合正方形对角线的等量关系求$a$：
设正方形边长为$a$，小圆与正方形上边、右边相切，因此小圆圆心到正方形右边、上边的距离均为$r$，小圆圆心到正方形右上角顶点的距离为$\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$。
正方形对角线总长度为$\sqrt{2}a$，同时对角线长度等于扇形半径$R$、小圆半径$r$、小圆圆心到右上角顶点的距离三者之和，即：
$\sqrt{2}a = R + r + r\sqrt{2}$
将$R=4r$代入上式：
$\sqrt{2}a = 4r + r + \sqrt{2}r = 5r + \sqrt{2}r$
两边同时除以$\sqrt{2}$整理得：
$a = r + \frac{5\sqrt{2}r}{2} = (1+\frac{5\sqrt{2}}{2})r$
【答案】
$(1+\dfrac{5}{2}\sqrt{2})r$
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，正方形性质
【点评】
本题结合立体几何展开知识与平面几何位置关系考查，核心是抓住扇形弧长等于圆锥底面周长的等量关系，同时需要观察出正方形对角线的长度组成，对几何图形观察分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
解题分两步思考：第一步，利用圆锥侧面展开图的核心性质——扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，先推导母线$R$和底面半径$r$的数量关系；第二步，结合图形位置特征分析：小圆与正方形的上边、右边均相切，扇形圆心在正方形左下角，二者圆心连线恰好是正方形的对角线，据此建立对角线长度的等量关系，代入$R$与$r$的关系即可推导出$a$用$r$表示的式子。
【解析】
解：① 推导母线$R$与底面半径$r$的关系：
圆锥侧面展开图是圆心角为$90°$的扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列等式：
$\frac{90°}{360°} × 2π R = 2π r$
化简得：$\frac{1}{2}π R = 2π r$，约去$π$后得$R=4r$。
② 结合正方形对角线的等量关系求$a$：
设正方形边长为$a$，小圆与正方形上边、右边相切，因此小圆圆心到正方形右边、上边的距离均为$r$，小圆圆心到正方形右上角顶点的距离为$\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$。
正方形对角线总长度为$\sqrt{2}a$，同时对角线长度等于扇形半径$R$、小圆半径$r$、小圆圆心到右上角顶点的距离三者之和，即：
$\sqrt{2}a = R + r + r\sqrt{2}$
将$R=4r$代入上式：
$\sqrt{2}a = 4r + r + \sqrt{2}r = 5r + \sqrt{2}r$
两边同时除以$\sqrt{2}$整理得：
$a = r + \frac{5\sqrt{2}r}{2} = (1+\frac{5\sqrt{2}}{2})r$
【答案】
$(1+\dfrac{5}{2}\sqrt{2})r$
【知识点】
圆锥展开图性质，弧长计算，正方形性质
【点评】
本题结合立体几何展开知识与平面几何位置关系考查，核心是抓住扇形弧长等于圆锥底面周长的等量关系，同时需要观察出正方形对角线的长度组成，对几何图形观察分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=6,BC=8$.
(1)分别以直线$AC,BC$为轴,把$△ ABC$旋转一周,得到两个不同的圆锥.求这两个圆锥的侧面积.
(2)以直线$AB$为轴,把$△ ABC$旋转一周,求所得几何体的表面积.
(1)分别以直线$AC,BC$为轴,把$△ ABC$旋转一周,得到两个不同的圆锥.求这两个圆锥的侧面积.
(2)以直线$AB$为轴,把$△ ABC$旋转一周,求所得几何体的表面积.
答案
10.解:(1)$\because ∠ C=90°,AC=6,BC=8,\therefore AB=10$,
以直线$AC$为轴旋转得到的圆锥的侧面积为$\dfrac{1}{2}× 10× 2π× 8=80π$;
以直线$BC$为轴旋转得到的圆锥的侧面积为$\dfrac{1}{2}× 10× 2π× 6=60π$.
(2)作$CD⊥ AB$于点$D$,$\because \dfrac{1}{2}CD· AB=\dfrac{1}{2}AC· BC$,
$\therefore CD=\dfrac{6× 8}{10}=\dfrac{24}{5}$,以直线$AB$为轴,把$△ ABC$旋转一周,
所得的几何体是以$CD$为底面半径的两个圆锥,
则它的表面积$=\dfrac{1}{2}× 6× 2π× \dfrac{24}{5}+\dfrac{1}{2}× 8× 2π× \dfrac{24}{5}=\dfrac{336}{5}π$.
以直线$AC$为轴旋转得到的圆锥的侧面积为$\dfrac{1}{2}× 10× 2π× 8=80π$;
以直线$BC$为轴旋转得到的圆锥的侧面积为$\dfrac{1}{2}× 10× 2π× 6=60π$.
(2)作$CD⊥ AB$于点$D$,$\because \dfrac{1}{2}CD· AB=\dfrac{1}{2}AC· BC$,
$\therefore CD=\dfrac{6× 8}{10}=\dfrac{24}{5}$,以直线$AB$为轴,把$△ ABC$旋转一周,
所得的几何体是以$CD$为底面半径的两个圆锥,
则它的表面积$=\dfrac{1}{2}× 6× 2π× \dfrac{24}{5}+\dfrac{1}{2}× 8× 2π× \dfrac{24}{5}=\dfrac{336}{5}π$.
解析
【分析】
解决本题需先明确旋转后几何体的结构，再结合对应公式逐步计算：
1. 先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，它是计算旋转所得圆锥侧面积的关键量。
2. 第(1)问：以AC为轴旋转时，圆锥的底面半径为BC的长度，母线长为AB的长度，代入圆锥侧面积公式即可计算；同理以BC为轴旋转时，底面半径为AC的长度，母线长仍为AB，代入公式即可得出结果。
3. 第(2)问：以AB为轴旋转得到的是两个共底面的圆锥组合体，公共底面的半径为△ABC斜边上的高CD，先通过三角形面积的等积法求出CD的长度，两个圆锥的母线分别为AC和BC，将两个圆锥的侧面积相加就是该几何体的表面积（注意组合体的重合底面在内部，不计入表面积）。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
(1) ①以直线$AC$为轴旋转一周得到的圆锥：底面半径$r_1=BC=8$，母线长$l_1=AB=10$
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=\frac{1}{2} × 母线长 × 底面周长$，代入得：
$S_1=\frac{1}{2} × 10 × 2π × 8=80π$
②以直线$BC$为轴旋转一周得到的圆锥：底面半径$r_2=AC=6$，母线长$l_2=AB=10$
同理代入公式得：
$S_2=\frac{1}{2} × 10 × 2π × 6=60π$
(2) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，CD为旋转后两个圆锥的公共底面半径
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD$，代入数值：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$
该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和，两个圆锥的母线分别为$AC=6$、$BC=8$：
$S_{表}=\frac{1}{2} × 6 × 2π × \frac{24}{5} + \frac{1}{2} × 8 × 2π × \frac{24}{5}=\frac{336}{5}π$
【答案】
(1) 以$AC$为轴旋转得到的圆锥侧面积为$80π$，以$BC$为轴旋转得到的圆锥侧面积为$60π$；
(2) 所得几何体的表面积为$\frac{336}{5}π$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 圆锥侧面积计算
3. 等积法求高
【点评】
本题重点考查旋转形成的几何体的表面积计算，解题核心是准确判断不同旋转轴对应的几何体构成，区分清楚底面半径和母线长，第二问需注意组合体的重合底面不计入表面积，熟练掌握等积法求高是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解决本题需先明确旋转后几何体的结构，再结合对应公式逐步计算：
1. 先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，它是计算旋转所得圆锥侧面积的关键量。
2. 第(1)问：以AC为轴旋转时，圆锥的底面半径为BC的长度，母线长为AB的长度，代入圆锥侧面积公式即可计算；同理以BC为轴旋转时，底面半径为AC的长度，母线长仍为AB，代入公式即可得出结果。
3. 第(2)问：以AB为轴旋转得到的是两个共底面的圆锥组合体，公共底面的半径为△ABC斜边上的高CD，先通过三角形面积的等积法求出CD的长度，两个圆锥的母线分别为AC和BC，将两个圆锥的侧面积相加就是该几何体的表面积（注意组合体的重合底面在内部，不计入表面积）。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
(1) ①以直线$AC$为轴旋转一周得到的圆锥：底面半径$r_1=BC=8$，母线长$l_1=AB=10$
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=\frac{1}{2} × 母线长 × 底面周长$，代入得：
$S_1=\frac{1}{2} × 10 × 2π × 8=80π$
②以直线$BC$为轴旋转一周得到的圆锥：底面半径$r_2=AC=6$，母线长$l_2=AB=10$
同理代入公式得：
$S_2=\frac{1}{2} × 10 × 2π × 6=60π$
(2) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，CD为旋转后两个圆锥的公共底面半径
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD$，代入数值：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$
该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和，两个圆锥的母线分别为$AC=6$、$BC=8$：
$S_{表}=\frac{1}{2} × 6 × 2π × \frac{24}{5} + \frac{1}{2} × 8 × 2π × \frac{24}{5}=\frac{336}{5}π$
【答案】
(1) 以$AC$为轴旋转得到的圆锥侧面积为$80π$，以$BC$为轴旋转得到的圆锥侧面积为$60π$；
(2) 所得几何体的表面积为$\frac{336}{5}π$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 圆锥侧面积计算
3. 等积法求高
【点评】
本题重点考查旋转形成的几何体的表面积计算，解题核心是准确判断不同旋转轴对应的几何体构成，区分清楚底面半径和母线长，第二问需注意组合体的重合底面不计入表面积，熟练掌握等积法求高是解题的关键。
【难度系数】
0.6
11.如图,有一个圆锥形的粮堆,其主视图是边长为6 cm 的正三角形,母线的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠,求小猫经过的最短路程.(结果不取近似数)
答案
11.解:展开图为扇形;弧长为:$6π \ \mathrm{cm}$,
$\therefore$设扇形的圆心角为$n°$,
$\therefore \dfrac{nπ× 6}{180}=6π,\therefore n=180,\therefore ∠ BAP=90°$,
$\because AP=\dfrac{1}{2}AC=3(\mathrm{cm})$,
$\therefore BP=\sqrt{AP^2+AB^2}=3\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.
$\therefore$设扇形的圆心角为$n°$,
$\therefore \dfrac{nπ× 6}{180}=6π,\therefore n=180,\therefore ∠ BAP=90°$,
$\because AP=\dfrac{1}{2}AC=3(\mathrm{cm})$,
$\therefore BP=\sqrt{AP^2+AB^2}=3\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
求解圆锥表面两点的最短路径，核心思路是“化曲为直”：首先将圆锥侧面展开为平面扇形，利用平面内两点之间线段最短，确定最短路径为线段BP。第一步先根据主视图是正三角形，得到圆锥母线长和底面直径的长度，算出底面周长也就是展开扇形的弧长；第二步用弧长公式求出扇形的圆心角，确定展开图中∠BAP的度数；第三步在直角三角形中用勾股定理计算BP的长度即可。
【解析】
解：
∵圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，
∴圆锥的母线长$AB=AC=6\ \mathrm{cm}$，底面圆的直径$BC=6\ \mathrm{cm}$，
∴底面圆的周长即圆锥侧面展开扇形的弧长为：$π×6=6π\ \mathrm{cm}$。
设侧面展开扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式可得：
$\dfrac{nπ× 6}{180}=6π$，
解得$n=180$，即侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形，因此展开图中$∠ BAP=90°$。
∵P是母线AC的中点，
∴$AP=\dfrac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.圆锥侧面展开图 2.弧长计算 3.勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型考法，解题关键是掌握“化曲为直”的转化思想，将立体表面的路径问题转化为平面内线段长度计算，需要准确对应展开前后各线段、角度的关系，避免混淆展开图中点的位置。
【难度系数】
0.6
求解圆锥表面两点的最短路径，核心思路是“化曲为直”：首先将圆锥侧面展开为平面扇形，利用平面内两点之间线段最短，确定最短路径为线段BP。第一步先根据主视图是正三角形，得到圆锥母线长和底面直径的长度，算出底面周长也就是展开扇形的弧长；第二步用弧长公式求出扇形的圆心角，确定展开图中∠BAP的度数；第三步在直角三角形中用勾股定理计算BP的长度即可。
【解析】
解：
∵圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，
∴圆锥的母线长$AB=AC=6\ \mathrm{cm}$，底面圆的直径$BC=6\ \mathrm{cm}$，
∴底面圆的周长即圆锥侧面展开扇形的弧长为：$π×6=6π\ \mathrm{cm}$。
设侧面展开扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式可得：
$\dfrac{nπ× 6}{180}=6π$，
解得$n=180$，即侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形，因此展开图中$∠ BAP=90°$。
∵P是母线AC的中点，
∴$AP=\dfrac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BAP$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.圆锥侧面展开图 2.弧长计算 3.勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径问题的典型考法，解题关键是掌握“化曲为直”的转化思想，将立体表面的路径问题转化为平面内线段长度计算，需要准确对应展开前后各线段、角度的关系，避免混淆展开图中点的位置。
【难度系数】
0.6
