12.解方程：$\dfrac{x-2}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-5}=2$

12.解: $x=4$.

【分析】
这是一道分式方程求解问题，核心解题思路是将分式方程转化为整式方程求解。第一步先明确分母不为0的取值范围，避免后续出现增根；第二步找到两个分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；第三步按照整式方程的解法，依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出未知数的值；最后将求得的未知数的值代入最简公分母检验，若公分母不为0则为原方程的解，若为0则是增根需要舍去。
【解析】
解：由分式分母不为0可得，$x≠3$且$x≠5$。
方程两边同时乘最简公分母$(x-3)(x-5)$，得：
$(x-2)(x-5)+(x-4)(x-3)=2(x-3)(x-5)$
分别展开左右两侧的多项式：
左边：$x^2-7x+10 + x^2-7x+12=2x^2-14x+22$
右边：$2(x^2-8x+15)=2x^2-16x+30$
移项并合并同类项：
$2x^2-14x+22 - 2x^2+16x-30=0$
$2x-8=0$
解得$x=4$。
检验：将$x=4$代入最简公分母$(x-3)(x-5)=(4-3)×(4-5)=-1≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
分式方程的解法、整式方程求解、分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，解题的关键是掌握去分母转化整式方程的思路，注意去分母时不要漏乘常数项，求解完成后必须验根，避免增根导致解题错误。
【难度系数】
0.7

13.先化简,再求值:$\dfrac{x-3}{x^2+6x+9}÷(1-\dfrac{6}{x+3})$,其中$x=-2$.

13.解: 原式$=\dfrac{1}{x+3}$. 当$x=-2$时,原式$=1$.

【分析】
这是分式化简求值类基础题，解题思路可分为两步：第一步先化简分式：①先对第一个分式的分母用完全平方公式因式分解；②先计算括号内的减法，将1转化为分母为$x+3$的分式，通分后合并；③将除法运算转化为乘法运算，约去公因式得到最简分式；第二步将$x=-2$代入最简分式计算最终结果即可，化简过程需注意保证原分式有意义。
【解析】
解：先对原式逐步化简：
1. 因式分解分母：$x^2+6x+9=(x+3)^2$
2. 计算括号内的减法：
$1-\dfrac{6}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{6}{x+3}=\dfrac{x+3-6}{x+3}=\dfrac{x-3}{x+3}$
3. 将除法转化为乘法后约分：
原式$=\dfrac{x-3}{(x+3)^2} ÷ \dfrac{x-3}{x+3} = \dfrac{x-3}{(x+3)^2} × \dfrac{x+3}{x-3} = \dfrac{1}{x+3}$
4. 代入$x=-2$求值：
当$x=-2$时，原式$=\dfrac{1}{-2+3}=1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x+3}$，求值结果为$1$
【知识点】
分式混合运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查分式运算的核心规则，解题关键是遵循运算顺序，先算括号内的部分，除法转乘法时正确取倒数，约分前先对多项式因式分解可简化计算，代入数值时需验证原分式分母不为0。
【难度系数】
0.8

14.某学校计划购买 A,B 两种学习用品奖励学生.已知购买一个 A 学习用品比购买一个B学习用品多用20元,用200元购买A学习用品的数量和用40元购买B学习用品的数量相同.
(1)求 A,B 两种学习用品每个的售价分别为多少元.
(2)经商谈,商家给该学校如下优惠:每购买一个 A 学习用品赠送一个 B 学习用品.如果该学校需要 B 学习用品的个数比 A 学习用品个数的 4 倍还多 8 个,且该学校购买 A,B两种学习用品的总费用不超过 1 000 元,那么该学校最多可购买 A 学习用品多少个?

14.解: (1)A学习用品每个的售价为25元,B学习用品每个的售价为5元. (2)该学校最多可购买A学习用品24个.

【分析】
（1）第一问是分式方程应用类问题，解题核心是找准等量关系：用200元购买A学习用品的数量=用40元购买B学习用品的数量。我们可以先设B学习用品的单价为未知数，进而表示出A学习用品的单价，结合“数量=总价÷单价”的公式列分式方程求解，注意分式方程求出根后需要检验是否符合题意。
（2）第二问是一元一次不等式的应用类问题，解题核心是找准不等关系：购买A、B两种学习用品的总费用≤1000元。先设购买A学习用品的数量为未知数，结合“B学习用品的个数比A的4倍多8个”和“买1个A赠送1个B”的优惠规则，表示出需要额外付费购买的B的数量，再列不等式求解，最后取符合实际意义的最大正整数解即可。
【解析】
(1) 设B学习用品每个的售价为$x$元，则A学习用品每个的售价为$(x+20)$元。
根据题意列方程：
$\frac{200}{x+20}=\frac{40}{x}$
交叉相乘得：$200x=40(x+20)$
展开计算：$200x=40x+800$
移项合并同类项：$160x=800$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$x(x+20)=5×25=125≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A学习用品的售价为：$x+20=5+20=25$（元）
(2) 设该学校购买$a$个A学习用品，则需要B学习用品的数量为$(4a+8)$个。
由于每购买1个A赠送1个B，因此需要额外付费购买的B学习用品数量为：$4a+8-a=3a+8$（个）
根据总费用不超过1000元的要求，列不等式：
$25a+5(3a+8)≤1000$
展开计算：$25a+15a+40≤1000$
合并同类项：$40a≤960$
解得：$a≤24$
因为$a$为正整数，所以$a$的最大值为24。
【答案】
(1)A学习用品每个的售价为25元，B学习用品每个的售价为5元；
(2)该学校最多可购买A学习用品24个。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题最值求解
【点评】
本题结合消费优惠的生活场景，综合考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是准确提取题干中的等量、不等关系，注意分式方程需要检验增根，最终解要符合实际场景的取值要求。
【难度系数】
0.7

15. [2026 蚌埠期末] 关于x的分式方程 $3 - \dfrac{7}{1 - x} = \dfrac{mx}{x - 1}$。
（1）若这个方程的解为 $x = 2$，则 $m$ 的值为 ；
（2）若这个方程无解，则 $m$ 的值为 。

15.(1)5 (2)3 或 7

【分析】
（1）已知分式方程的解求参数m，解题思路是将x=2直接代入原分式方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；
（2）分式方程无解分两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的x值）。先将原分式方程去分母转化为整式方程，再分两种情况讨论求解m的值即可。
【解析】
（1）把$x=2$代入原方程$3 - \dfrac{7}{1 - x} = \dfrac{mx}{x - 1}$得：
左边$=3 - \dfrac{7}{1 - 2}=3 + 7=10$，右边$=\dfrac{2m}{2 - 1}=2m$
则$2m=10$，解得$m=5$。
（2）原方程两边同时乘$(x - 1)$去分母得：
$3(x - 1) + 7 = mx$
整理得：$(3 - m)x = -4$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$3 - m = 0$，解得$m=3$，此时方程变为$0=-4$，不成立，整式方程无解，原分式方程也无解；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，原分式方程分母为0，即$x - 1=0$，增根为$x=1$，把$x=1$代入$(3 - m)x = -4$得：
$3 - m = -4$，解得$m=7$。
综上，方程无解时m的值为3或7。
【答案】
（1）$\boxed{5}$；（2）$\boxed{3}$或$\boxed{7}$
【知识点】
1. 分式方程的解
2. 分式方程的增根
3. 解一元一次方程
【点评】
本题考查分式方程的参数求解问题，已知解求参数直接代入计算即可；无解问题需分整式方程本身无解、整式方程的解为增根两种情况讨论，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6

16. [2026合肥期末]阅读理解并回答问题：
(1)观察下列各式：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，
……
请你猜想出表示(1)中的特点的一般规律，用含$x$（$x$表示整数）的等式表示出来
$\frac{1}{x(x+1)}=$；
(2)请利用上述规律计算：(要求写出计算过程)
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+$$+\frac{1}{n(n+1)}$；
(3)请利用上述规律，解方程：$\frac{1}{(x-2)(x-1)}+\frac{1}{(x-1)x}+$$=\frac{1}{x+1}$；

16.解: (1)$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ (2)$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$. (3)原方程的根是$x=5$.

【分析】
(1)观察给出的等式，可发现左边分数的分母是两个连续整数x和x+1的乘积、分子为1，右边是两个分子为1、分母分别为这两个连续整数的分数的差，据此可直接归纳出一般规律。
(2)利用(1)得到的裂项规律，将算式中每一项都拆成两个分数的差，中间的分数会相互抵消，仅剩下首尾两项，计算首尾两项的差即可得到结果。
(3)先将方程左边的每一项按照裂项规律拆分，抵消后可将原方程化简为常规分式方程，再按照分式方程的步骤求解，最后要代入原方程验根，保证所有分母不为0。
【解析】
(1)根据给出的示例规律可直接得出：$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$。
(2)将原式按裂项规律拆分：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{n(n+1)}\\=&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\=&1-\frac{1}{n+1}\\=&\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
(3)先对左边的分式裂项化简：
$\begin{aligned}左边&=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\\&=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
原方程可化简为：$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+1}$
移项得：$\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x+1}$
去分母得：$x+1=2(x-2)$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，原方程所有分母均不为0，所以$x=5$是原方程的根。
【答案】
(1)$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$；(2)$\frac{n}{n+1}$；(3)$x=5$
【知识点】
裂项相消法，分式加减运算，分式方程解法
【点评】
本题从规律探究出发，逐步考查裂项规律的迁移应用，既锻炼了归纳推理能力，又巩固了分式运算、分式方程求解的相关知识，解题时要注意分式方程必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.65