1. 计算：$3 a b ^ { 2 } \cdot 5 a ^ { 2 } b = ()$
A. $8 a ^ { 2 } b ^ { 2 }$
B. $8 a ^ { 3 } b ^ { 3 }$
C. $15 a ^ { 3 } b ^ { 3 }$
D. $15 a ^ { 2 } b ^ { 2 }$

C

2. 计算：$( x ^ { n } ) ^ { n } \cdot 36 x ^ { n } = ()$
A. $36 x ^ { n }$
B. $36 x ^ { n ^ { 3 } }$
C. $36 x ^ { n ^ { 2 } + n }$
D. $36 x ^ { 2 + n }$

C

3. 下列各式能用平方差公式计算的是()
A. $( a + b ) ( - a - b )$
B. $( x + 2 y ) ( 2 y - x )$
C. $( - a + b ) ( a - b )$
D. $( m + n ) ( m + n )$

B

4. 计算：$( - 3 ) ^ { - 2 } × ( \pi - 6 ) ^ { 0 } + ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { - 1 } = $______。

$\frac{19}{9}$

5. 计算：$2 x ^ { 3 } \cdot ( - 2 x y ) ( - 2 x y ) ^ { 3 } = $______。

$32x^{7}y^{4}$

6. 若长方形的宽是$a × 10 ^ { 3 } \mathrm { cm }$,长是宽的$2$倍,则长方形的面积是______$\mathrm { cm } ^ { 2 }$。

$2\times10^{6}a^{2}$

7. 计算：
(1)已知$( 2 a ^ { n } ) ^ { 3 } = 40$,求$a ^ { 6 n }$的值；
(2)已知$n$为正整数,且$x ^ { 2 n } = 7$,求$( 3 x ^ { 3 n } ) ^ { 2 } - 4 ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 n }$的值。

【解析】：1. 首先对$(2a^{n})^{3}$进行化简，根据积的乘方公式$(ab)^m=a^m\times b^m$以及幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(2a^{n})^{3}=2^{3}\times(a^{n})^{3}=8a^{3n}$。已知$(2a^{n})^{3}=40$，即$8a^{3n}=40$，那么$a^{3n}=40\div8 = 5$。而$a^{6n}=(a^{3n})^{2}$，把$a^{3n}=5$代入可得$a^{6n}=5^{2}=25$。
2. 对于$(3x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$，先根据积的乘方公式$(ab)^m=a^m\times b^m$和幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$进行化简。$(3x^{3n})^{2}=3^{2}\times(x^{3n})^{2}=9x^{6n}=9(x^{2n})^{3}$，$4(x^{2})^{2n}=4x^{4n}=4(x^{2n})^{2}$。已知$x^{2n}=7$，将其代入化简后的式子可得：$9\times7^{3}-4\times7^{2}=9\times343 - 4\times49=3087-196 = 2891$。
【答案】：1. $25$ 2. $2891$

8. 如图,某市有一块长为$( 3 a + b ) \mathrm { m }$、宽为$( 2 a + b ) \mathrm { m }$的长方形地块,规划部门计划将图中阴影部分进行绿化,在中间(空白部分)修建一座雕像。
(1)长方形地块的面积是多少？(用代数式表示)
(2)绿化的面积是多少？(用代数式表示)
(3)求出当$a = 5$,$b = 3$时的绿化面积。

【解析】：
(1)根据长方形面积公式$S = 长\times宽$，已知长为$(3a + b)\mathrm{m}$，宽为$(2a + b)\mathrm{m}$，则长方形地块面积$S=(3a + b)(2a + b)$，根据多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}&(3a + b)(2a + b)\\=&3a\times2a+3a\times b + b\times2a + b\times b\\=&6a^{2}+3ab + 2ab + b^{2}\\=&6a^{2}+5ab + b^{2}(\mathrm{m}^{2})\end{aligned}$
(2)空白部分是边长为$(a + b)\mathrm{m}$的正方形，其面积$S_{空白}=(a + b)^{2}$，根据完全平方公式展开$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$。
绿化面积$S_{绿化}=S - S_{空白}$，即$(6a^{2}+5ab + b^{2})-(a^{2}+2ab + b^{2})$，去括号得$6a^{2}+5ab + b^{2}-a^{2}-2ab - b^{2}$，合并同类项：
$\begin{aligned}&(6a^{2}-a^{2})+(5ab - 2ab)+(b^{2}-b^{2})\\=&5a^{2}+3ab(\mathrm{m}^{2})\end{aligned}$
(3)当$a = 5$，$b = 3$时，代入$S_{绿化}=5a^{2}+3ab$得：
$\begin{aligned}&5\times5^{2}+3\times5\times3\\=&5\times25+45\\=&125 + 45\\=&170(\mathrm{m}^{2})\end{aligned}$
【答案】：
(1)$6a^{2}+5ab + b^{2}$
(2)$5a^{2}+3ab$
(3)$170$