6. 以正方形 $ABCD$ 的边 $AD$ 为边作等边 $\triangle ADE$，则 $\angle BEC$ 的度数是 。

6. $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$

7. 如下左图，点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 内位于对角线 $AC$ 下方的一点，$\angle 1 = \angle 2$，则 $\angle BPC$ 的度数为 $^{\circ}$。

7.135

8. 如下中图，在正方形 $ABCD$ 中，$F$ 是 $BC$ 延长线上一点且 $CF = AC$，$AF$ 交 $DC$ 于点 $E$，则 $\angle AEC =$ 。

8. $112.5^{\circ}$

9. 如上右图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，点 $D$ 为 $AC$ 的中点，过点 $C$ 作 $CE \perp BD$ 于点 $E$，过点 $A$ 作 $BD$ 的平行线，交 $CE$ 的延长线于点 $F$，在 $AF$ 的延长线上截取 $FG = BD$，连接 $BG$，$DF$。假设 $AG = 13$，$CF = 6$，那么四边形 $BDFG$ 的周长为 。

9.20

10. 如图，将一张矩形纸片 $ABCD$ 沿直线 $MN$ 折叠，使点 $C$ 落在点 $A$ 处，点 $D$ 落在点 $E$ 处，直线 $MN$ 交 $BC$ 于点 $M$，交 $AD$ 于点 $N$。
(1) 求证：$CM = CN$；
(2) 假设 $\triangle CMN$ 的面积与 $\triangle CDN$ 的面积的比为 $3:1$，求 $\frac{MN}{DN}$ 的值。

10.(1)由折叠的性质可得 $ \angle ANM = \angle CNM $。∵ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，∴ $ AD // BC $，∴ $ \angle ANM = \angle CMN $，∴ $ \angle CNM = \angle CMN $，∴ $ CM = CN $。　(2)如图, 过点 $ N $ 作 $ NH \perp BC $ 于点 $ H $，则四边形 $ NHCD $ 是矩形，∴ $ HC = DN $，$ NH = DC $。∵ $ \triangle CMN $ 的面积与 $ \triangle CDN $ 的面积之比为 $ 3:1 $，∴ $ \frac{S_{\triangle CMN}}{S_{\triangle CDN}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot MC \cdot NH}{\frac{1}{2} \cdot DN \cdot DC} = \frac{MC}{ND} = 3 $，∴ $ MC = 3ND = 3HC $，∴ $ MH = 2HC $。设 $ DN = x $，那么 $ HC = x $，$ MH = 2x $，∴ $ CM = 3x = CN $，在 $ \text{Rt} \triangle CDN $ 中，$ DC = \sqrt{CN^2 - DN^2} = 2\sqrt{2}x $，∴ $ HN = 2\sqrt{2}x $。在 $ \text{Rt} \triangle MNH $ 中，$ MN = \sqrt{MH^2 + HN^2} = 2\sqrt{3}x $，∴ $ \frac{MN}{DN} = \frac{2\sqrt{3}x}{x} = 2\sqrt{3} $。