8. 如图,在$\odot O$中,$OA⊥BC$,$∠ADB = 30^{\circ}$,$BC = 2\sqrt{3}$,则$OC$的长是______.

2

9. 如图,$AB是\odot O$的直径,$∠ACD = ∠CAB$,$AD = 2$,$AC = 4$,则$\odot O$的半径为______.

$\sqrt{5}$

10. 如图,$\odot O的弦AC⊥BD于点E$,且$\overparen{AD} = \overparen{BC}$. 若$AD = 2\sqrt{2}$,则$\odot O$的半径为______.

2

11. 如图,$AB$,$CD是\odot O$的两条弦,$∠AOB + ∠COD = 180^{\circ}$. 若$AB = 6$,$\odot O$的半径为5,则$CD$的长为______.

8

12. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$AD是\triangle ABC$的高. 求证：$∠BAO = ∠CAD$.

证明：方法一：作直径AE，连接BE，则∠ABE=∠ADC=90°，∠C=∠E，
∴∠BAO=∠CAD.
方法二：作直径AE，连接CE，则∠ECA=90°，∠BAO=∠BCE，
证∠BCE=∠CAD，
∴∠BAO=∠CAD.
方法三：作OH⊥AB于点H，连接BO，证∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=∠AOH即可.

13. (原创题)如图,$\odot O经过格点A$,$B$,$C$. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图,保留画图痕迹.
(1)填空：$∠ABC = $______；
(2)画出圆心$O$；
(3)在$\odot O上画一点M$,使$BM平分∠ABC$.

解：(1)90°；(2)(3)如图所示.

14. (原创题)如图,$AB是\odot O$的直径,$D为\overparen{AC}$的中点,$DE⊥AB于点E$,交$AC于点F$.
(1)求证：$AC = 2DE$；
(2)求证：$AF = DF$；
(3)延长$AC至点H$,若$∠BHF = ∠OFH$,求$\frac{OF}{BH}$的值.

解：(1)延长DE，交⊙O于点M，则$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{AC}$，∴AC=DM=2DE；
(2)连接AD. ∵$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ADF=∠DAF，∴AF=DF；
(3)连接BD，交AC于点G，
∵∠DAF=∠ADF，
∠ADB=90°，
∴∠DAF+∠DGA=∠ADF+∠FDG=90°，
∴∠FDG=∠FGD，
∴FD=FG，∴AF=FG.
∵OA=OB，∴OF$\equalparallel$$\frac{1}{2}$BG，
∴∠OFH=∠BGH=∠H，
∴BG=BH，∴$\frac{OF}{BH}=\frac{OF}{BG}=\frac{1}{2}$.