3. 为了测量高速公路某桥桥墩AB的高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量，如图10. 在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C,D两点之间的距离为80 m，直线AB,CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度(结果保留整数，参考数据：$\sin 40° \approx 0.64$，$\cos 40° \approx 0.77$，$\tan 40° \approx 0.84$，$\sqrt{3} \approx 1.73$).

桥墩AB的高度约为103米

【分析】
解题思路如下：1. 先分析角度关系：在C处看A的仰角为60°，D处看A的仰角为30°，可推出△ACD中∠CAD=∠ADC=30°，得到AC=CD=80m，这是解题的突破口；2. 过点C作CE⊥AB于E，构造两个直角三角形，将AB拆分为AE和BE两段，分别在Rt△AEC和Rt△BEC中利用三角函数计算两段长度；3. 两段长度相加即可得到AB的总高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E。
由题意可知：∠ADC=30°，∠ACE=60°，∠BCE=40°，CD=80m。
在△ACD中，$∠ CAD = ∠ ACE - ∠ ADC = 60° - 30° = 30°$，
∴$∠ CAD = ∠ ADC$，
∴$AC = CD = 80\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中：
$AE = AC · \sin60° = 80 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \approx 40 × 1.73 = 69.2\mathrm{m}$，
$CE = AC · \cos60° = 80 × \frac{1}{2} = 40\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中：
$BE = CE · \tan40° \approx 40 × 0.84 = 33.6\mathrm{m}$。
∴$AB = AE + BE \approx 69.2 + 33.6 = 102.8 \approx 103\mathrm{m}$。
【答案】
桥墩AB的高度约为103米
【知识点】
解直角三角形的应用、仰角俯角问题、等腰三角形的判定
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合角度关系简化边长计算，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，需要熟练掌握三角函数的应用和角度关系推导。
【难度系数】
0.65

4. 如图11,海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A测得小岛P在北偏东$60°$方向上,航行12海里到达B点,这时测得小岛P在北偏东$45°$方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$).

有. 提示:作$PE⊥AC$,垂足为E,求出PE的长

【分析】
要判断渔船是否有触礁危险，核心是比较小岛P到航线AC的最短距离和18海里的大小关系：若最短距离小于18海里则有触礁危险，反之无危险。解题思路如下：①过点P作PE⊥AC，垂足为E，PE即为最短距离，设PE=x海里；②分别在两个含特殊角的直角三角形△PAE、△PBE中，用含x的式子表示出AE和BE的长度；③根据AE-BE=AB=12海里列方程，求解x后和18比较即可得出结论。
【解析】
解：过点P作PE⊥AC，垂足为E，设PE=x海里。
在Rt△PBE中，∠PBE=90°-45°=45°，
∴△PBE为等腰直角三角形，BE=PE=x。
在Rt△PAE中，∠PAE=90°-60°=30°，
由三角函数定义得：$\tan∠ PAE=\frac{PE}{AE}$，即$\tan30°=\frac{x}{AE}$，
∴$AE=\frac{x}{\tan30°}=\sqrt{3}x$。
由题意知AB=12海里，且$AE-BE=AB$，代入得：
$\sqrt{3}x - x = 12$
解得：$x=\frac{12}{\sqrt{3}-1}=6(\sqrt{3}+1)\approx6×(1.73+1)=16.38$（海里）。
∵$16.38＜18$，
∴渔船不改变航线继续向东航行有触礁危险。
【答案】
有触礁危险，理由见上述解析。
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 方向角
3. 垂线段性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题关键是将方位角转化为直角三角形内角，通过作垂线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值建立方程求解，考查了数形结合思想和数学建模能力。
【难度系数】
0.7