23.(10分)如图7-57①,点O在直线AB上,过点O作射线OC,使∠AOC = 60°.将一把直角三角板的直角顶点与点O重合,顶点M在射线OB上,顶点N在直线AB的下方,其中∠OMN = 30°.

(1)将图7-57①中的三角板绕点O逆时针旋转至图7-57②的位置,使边OM恰好平分∠BOC,求∠BON的度数.
(2)将图7-57①中的三角板绕点O逆时针旋转至图7-57③的位置,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠CON之间的数量关系,并说明理由.
(3)将图7-57①中的三角板绕点O沿逆时针方向旋转一周,根据旋转特征解答问题:
① 直线ON恰好平分锐角∠AOC时,求旋转角的度数;
②边MN恰好与射线OC平行时,求旋转角的度数.

23. 解:
(1) $∠ BON = ∠ MON - \frac{1}{2}∠ BOC$
$= 90° - 60° = 30°$.
(2) $\because ∠ MON = 90°, ∠ AOC = 60°$,
$\therefore ∠ AON = 90° - ∠ AOM$,
$∠ AON = 60° - ∠ CON$.
$\therefore 90° - ∠ AOM = 60° - ∠ CON$.
$\therefore ∠ AOM - ∠ CON = 30°$,
故 $∠ AOM$ 与 $∠ CON$ 之间的数量关系为:
$∠ AOM - ∠ CON = 30°$.
(3) ① 当点 N 在 $∠ AOC$ 外时, 旋转角为 $60°$;
当点 N 在 $∠ AOC$ 内时, 旋转角为 $240°$.
② 当 $MN // OC$ 时, 由同位角相等知 ON 落在 AB 上, $OM ⊥ AB$, 所以旋转角为 $90°$ 或 $270°$.