典例2 已知二次函数 $y=-2x^2 -5x +7$.
(1)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
(2)当x取何值时,y有最大值?最大值是多少?
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?

解：
(1) 对二次函数解析式配方变形：
$\begin{aligned}y&=-2x^2 -5x +7\\&=-2(x^2 + \frac{5}{2}x) +7\\&=-2[x^2 + \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2] +7\\&=-2(x+\frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} +7\\&=-2(x+\frac{5}{4})^2 + \frac{81}{8}\end{aligned}$
∴ 该二次函数图象的对称轴是直线 $x=-\frac{5}{4}$，顶点坐标为 $(-\frac{5}{4},\frac{81}{8})$。
(2) ∵ 二次项系数 $a=-2＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当 $x=-\frac{5}{4}$ 时，y有最大值，最大值为 $\frac{81}{8}$。
(3) ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线 $x=-\frac{5}{4}$，
∴ 当 $x＜-\frac{5}{4}$ 时，y随x的增大而增大；
当 $x＞-\frac{5}{4}$ 时，y随x的增大而减小。

举一反三 已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象经过点$(1,-8),(5,0)$。
(1)求$b,c$的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。

(1)
∵二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$(1,-8),(5,0)$，
∴$\begin{cases}1+b+c=-8,\\25+5b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-4,\\c=-5.\end{cases}$
(2) 由(1)可知,该二次函数的解析式为$y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9$，
∴该二次函数图象的顶点坐标为$(2,-9)$，对称轴为直线$x=2$.

典例3 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 如图所示，则下列结论正确的有().

①$ abc＞0 $;②$ a - b + c ＜ 0 $;③$ 2a - b ＞ 0 $;④$ a + c ＜ 1 $.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
总结归纳

C

根据抛物线图像逐一判断结论：
1. 抛物线开口向上，得$a＞0$；对称轴在$y$轴左侧，$ab＞0$，得$b＞0$；抛物线与$y$轴交于负半轴，得$c＜0$，因此$abc＜0$，结论①错误。
2. 当$x=-1$时，对应抛物线上的点在$x$轴下方，即$y=a-b+c＜0$，结论②正确。
3. 由对称轴位置得$-1＜-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$，两边同乘$2a$得$-b＞-2a$，整理得$2a-b＞0$，结论③正确。
4. 当$x=1$时，$y=a+b+c=2$，即$b=2-a-c$，代入$a-b+c＜0$，得$a-(2-a-c)+c＜0$，化简得$2a+2c＜2$，即$a+c＜1$，结论④正确。
综上，正确的结论共3个。

举一反三 二次函数
$y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示,对于下列说法:
①$ac＞0$;②$2a+b＞0$;
③$a+b+c＜0$;④当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.其中正确的是().
A. ①②③
B. ②③
C. ②③④
D. ③④

典例解析
典例1
解 由 $y=2x^2+8x+6=2(x+2)^2-2$,得其图象的顶点坐标为$(-2,-2)$.
其函数图象如图所示.
典例2
解 (1)$\because y=-2x^2-5x+7=-2(x+\frac{5}{4})^2+\frac{81}{8}$,
$\therefore$该二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{5}{4}$,顶点坐标为$(-\frac{5}{4},\frac{81}{8})$.
(2)$\because -2＜0,\therefore$抛物线开口向下,
$\therefore$当$x=-\frac{5}{4}$时,$y$有最大值,最大值为$\frac{81}{8}$.
(3)$\because$对称轴为直线$x=-\frac{5}{4}$,且开口向下,$\therefore$当$x＜-\frac{5}{4}$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＞-\frac{5}{4}$时,$y$随$x$的增大而减小.
典例3
答案 C

解析 ①根据图象可知,抛物线开口向上,
$\therefore a＞0$.
$\because$抛物线与$y$轴的交点在$x$轴下方,
$\therefore c＜0$.
$\because$抛物线的对称轴在$y$轴的左边,且$a＞0$,
$\therefore b＞0$,
$\therefore abc＜0$,故①错误;
②根据图象可知,当$x=-1$时,$y＜0$,即$a-b+c＜0$,故②正确;
③根据图象可知,$-\frac{b}{2a}＞-1$,
$\because a＞0$,
$\therefore 2a＞b$,
$\therefore 2a-b＞0$,故③正确;
④根据图象可知,当$x=1$时,$y=2$,即$a+b+c=2,\therefore a+c=2-b$.
$\because a-b+c＜0$,
$\therefore 2-b-b＜0$,解得$b＞1$,
$\therefore 2-b＜1$,
$\therefore a+c＜1$,故④正确.
综上所述,共有3个结论正确.
故选 C.

B 解析 ①由图象可知,$a＞0,c＜0,∴ac＜0$,故①错误；
②由图象可知,$-\frac{b}{2a}＜1$,
∴$2a+b＞0$,故②正确；
③由图象可知,当$x=1$时,$y=a+b+c＜0$,故③正确；
④由图象可知,当$x＞-\frac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而增大,故④错误.
故选 B.