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1. 下列各式是最简分式的是(
A.$\frac{4y+2x}{4a}$
B.$\frac{y-x}{x-y}$
C.$\frac{x^2+1}{x-1}$
D.$\frac{x^2-1}{x+1}$
C
).A.$\frac{4y+2x}{4a}$
B.$\frac{y-x}{x-y}$
C.$\frac{x^2+1}{x-1}$
D.$\frac{x^2-1}{x+1}$
答案
C
解析
【分析】
首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：对每个选项的分子、分母分别尝试因式分解，判断二者是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式，依次排查四个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对分子提取公因式得$\frac{4y+2x}{4a}=\frac{2(2y+x)}{4a}$，分子分母有公因式2，可以约分，不是最简分式，排除A；
B选项：分子变形可得$\frac{y-x}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}$，分子分母有公因式$x-y$，可以约分，不是最简分式，排除B；
C选项：分子$x^2+1$无法因式分解，且和分母$x-1$没有公因式，符合最简分式的定义；
D选项：分子用平方差公式分解得$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}$，分子分母有公因式$x+1$，可以约分，不是最简分式，排除D。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式约分模块的基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是能正确对分子、分母做因式分解，判断是否存在公因式。
【难度系数】
0.8
首先明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：对每个选项的分子、分母分别尝试因式分解，判断二者是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式，依次排查四个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对分子提取公因式得$\frac{4y+2x}{4a}=\frac{2(2y+x)}{4a}$，分子分母有公因式2，可以约分，不是最简分式，排除A；
B选项：分子变形可得$\frac{y-x}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}$，分子分母有公因式$x-y$，可以约分，不是最简分式，排除B；
C选项：分子$x^2+1$无法因式分解，且和分母$x-1$没有公因式，符合最简分式的定义；
D选项：分子用平方差公式分解得$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}$，分子分母有公因式$x+1$，可以约分，不是最简分式，排除D。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式约分模块的基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是能正确对分子、分母做因式分解，判断是否存在公因式。
【难度系数】
0.8
2. 将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$与$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为（
A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
C
）。A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
答案
C
解析
【分析】
要解决通分后分子变化的问题，需按通分的步骤思考：第一步先对两个分式的分母因式分解，确定它们的最简公分母；第二步看原分式的分母需要乘哪个整式才能变成最简公分母，根据分式的基本性质，分子也要乘同一个整式，即可得到变化后的分子。
【解析】
步骤1：因式分解两个分式的分母
第一个分式的分母：$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，
第二个分式的分母：$2(x - y)$。
步骤2：确定最简公分母
取各分母系数的最小公倍数（1和2的最小公倍数是2），再取所有不同因式的最高次幂（因式$(x+y)$、$(x-y)$的最高次都是1次），因此最简公分母为$2(x + y)(x - y)$。
步骤3：计算原第一个分式变化后的分子
原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母是$(x+y)(x-y)$，要变为最简公分母，需要给分母乘2，根据分式的基本性质，分子也要乘2，所以变化后的分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$。
【答案】
C
【知识点】
分式的通分，最简公分母，因式分解
【点评】
本题考查分式通分的核心方法，解题关键是先准确分解分母因式，再正确确定最简公分母，通分时要注意分子分母同乘相同的非零整式，避免漏乘。
【难度系数】
0.7
要解决通分后分子变化的问题，需按通分的步骤思考：第一步先对两个分式的分母因式分解，确定它们的最简公分母；第二步看原分式的分母需要乘哪个整式才能变成最简公分母，根据分式的基本性质，分子也要乘同一个整式，即可得到变化后的分子。
【解析】
步骤1：因式分解两个分式的分母
第一个分式的分母：$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，
第二个分式的分母：$2(x - y)$。
步骤2：确定最简公分母
取各分母系数的最小公倍数（1和2的最小公倍数是2），再取所有不同因式的最高次幂（因式$(x+y)$、$(x-y)$的最高次都是1次），因此最简公分母为$2(x + y)(x - y)$。
步骤3：计算原第一个分式变化后的分子
原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母是$(x+y)(x-y)$，要变为最简公分母，需要给分母乘2，根据分式的基本性质，分子也要乘2，所以变化后的分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$。
【答案】
C
【知识点】
分式的通分，最简公分母，因式分解
【点评】
本题考查分式通分的核心方法，解题关键是先准确分解分母因式，再正确确定最简公分母，通分时要注意分子分母同乘相同的非零整式，避免漏乘。
【难度系数】
0.7
3. 对分式$\frac{1}{2a^2b}$和$\frac{1}{3ab^3}$进行通分，它们的最简公分母是
$6a^2b^3$
。答案
$6a^2b^3$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按照最简公分母的确定规则逐步推导：首先找各分母系数的最小公倍数，再找各分母中所有出现的字母因式，相同字母因式取次数最高的，最后将所得的系数和字母因式相乘，即可得到最简公分母。
【解析】
步骤1：确定分母系数的最小公倍数
两个分式的分母系数分别是2和3，2和3的最小公倍数为$2×3=6$；
步骤2：确定字母因式的最高次幂
两个分母中出现的字母有a和b：
字母a的次数分别为2和1，取最高次幂$a^2$；
字母b的次数分别为1和3，取最高次幂$b^3$；
步骤3：组合得到最简公分母
将系数的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，得到最简公分母为$6× a^2× b^3=6a^2b^3$。
【答案】
$6a^2b^3$
【知识点】
最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、同底数幂取最高次”的规则即可快速解题，是后续分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
要确定两个分式的最简公分母，需按照最简公分母的确定规则逐步推导：首先找各分母系数的最小公倍数，再找各分母中所有出现的字母因式，相同字母因式取次数最高的，最后将所得的系数和字母因式相乘，即可得到最简公分母。
【解析】
步骤1：确定分母系数的最小公倍数
两个分式的分母系数分别是2和3，2和3的最小公倍数为$2×3=6$；
步骤2：确定字母因式的最高次幂
两个分母中出现的字母有a和b：
字母a的次数分别为2和1，取最高次幂$a^2$；
字母b的次数分别为1和3，取最高次幂$b^3$；
步骤3：组合得到最简公分母
将系数的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，得到最简公分母为$6× a^2× b^3=6a^2b^3$。
【答案】
$6a^2b^3$
【知识点】
最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、同底数幂取最高次”的规则即可快速解题，是后续分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
4. 化简下列分式：
(2) $\frac{x-y}{(y-x)^3}$
(2) $\frac{x-y}{(y-x)^3}$答案
解 (1)$\frac{12x^2 y^3}{9x^3 y^2} =\frac{4y · 3x^2 y^2}{3x · 3x^2 y^2} =\frac{4y}{3x}.$
(2)$\frac{x-y}{(y-x)^3} =\frac{x-y}{-(x-y)^3}$
$=\frac{(x-y)}{-(x-y)^2 · (x-y)}$
$=-\frac{1}{(x-y)^2}.$
(2)$\frac{x-y}{(y-x)^3} =\frac{x-y}{-(x-y)^3}$
$=\frac{(x-y)}{-(x-y)^2 · (x-y)}$
$=-\frac{1}{(x-y)^2}.$
解析
【分析】
(1) 对于单项式构成的分式，约分第一步要先找分子分母的公因式：先求系数12和9的最大公约数3，再找相同字母的最低次幂，x的最低次幂是$x^2$，y的最低次幂是$y^2$，确定公因式为$3x^2y^2$，分子分母同时除以公因式即可完成约分。
(2) 第二个分式的分子是$x-y$，分母是$(y-x)^3$，首先利用$y-x=-(x-y)$将分母变形为和分子同底数的形式，再确定公因式为$x-y$，约去公因式同时注意符号处理，即可得到化简结果。
【解析】
(1) 化简$\frac{12x^2 y^3}{9x^3 y^2}$：
将分子分母拆分出公因式：
$\frac{12x^2 y^3}{9x^3 y^2} =\frac{4y · 3x^2 y^2}{3x · 3x^2 y^2}$
分子分母同时约去公因式$3x^2 y^2$（隐含$x≠0,y≠0$），得：
$=\frac{4y}{3x}$
(2) 化简$\frac{x-y}{(y-x)^3}$：
先对分母变形，由$y-x=-(x-y)$可得$(y-x)^3=(-(x-y))^3=-(x-y)^3$，代入原式：
$\frac{x-y}{(y-x)^3} =\frac{x-y}{-(x-y)^3}$
拆分分母得：$=\frac{(x-y)}{-(x-y)^2 · (x-y)}$
分子分母同时约去公因式$x-y$（隐含$x≠ y$），得：
$=-\frac{1}{(x-y)^2}$
【答案】
(1) $\frac{4y}{3x}$；(2) $-\frac{1}{(x-y)^2}$
【知识点】
分式的约分，公因式的确定，幂的符号变换
【点评】
这两道是分式约分的基础典型题，第一题考查单项式分式的约分方法，需要准确识别系数和字母部分的公因式；第二题重点考查互为相反数的整式的幂的变形，解题时要注意符号的处理，同时要注意约分的前提是约去的公因式不为0。
【难度系数】
0.85
(1) 对于单项式构成的分式，约分第一步要先找分子分母的公因式：先求系数12和9的最大公约数3，再找相同字母的最低次幂，x的最低次幂是$x^2$，y的最低次幂是$y^2$，确定公因式为$3x^2y^2$，分子分母同时除以公因式即可完成约分。
(2) 第二个分式的分子是$x-y$，分母是$(y-x)^3$，首先利用$y-x=-(x-y)$将分母变形为和分子同底数的形式，再确定公因式为$x-y$，约去公因式同时注意符号处理，即可得到化简结果。
【解析】
(1) 化简$\frac{12x^2 y^3}{9x^3 y^2}$：
将分子分母拆分出公因式：
$\frac{12x^2 y^3}{9x^3 y^2} =\frac{4y · 3x^2 y^2}{3x · 3x^2 y^2}$
分子分母同时约去公因式$3x^2 y^2$（隐含$x≠0,y≠0$），得：
$=\frac{4y}{3x}$
(2) 化简$\frac{x-y}{(y-x)^3}$：
先对分母变形，由$y-x=-(x-y)$可得$(y-x)^3=(-(x-y))^3=-(x-y)^3$，代入原式：
$\frac{x-y}{(y-x)^3} =\frac{x-y}{-(x-y)^3}$
拆分分母得：$=\frac{(x-y)}{-(x-y)^2 · (x-y)}$
分子分母同时约去公因式$x-y$（隐含$x≠ y$），得：
$=-\frac{1}{(x-y)^2}$
【答案】
(1) $\frac{4y}{3x}$；(2) $-\frac{1}{(x-y)^2}$
【知识点】
分式的约分，公因式的确定，幂的符号变换
【点评】
这两道是分式约分的基础典型题，第一题考查单项式分式的约分方法，需要准确识别系数和字母部分的公因式；第二题重点考查互为相反数的整式的幂的变形，解题时要注意符号的处理，同时要注意约分的前提是约去的公因式不为0。
【难度系数】
0.85
5. 通分：
(1)$\frac{a}{2b},\frac{2}{5a^2b^2c}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - x},\frac{-1}{x^2 - 2x +1}$。
(1)$\frac{a}{2b},\frac{2}{5a^2b^2c}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - x},\frac{-1}{x^2 - 2x +1}$。
答案
解 (1)最简公分母是$10a^2b^2c$.
$\frac{a}{2b} =\frac{5a^3 bc}{10a^2 b^2 c},$
$\frac{2}{5a^2 b^2 c} =\frac{4}{10a^2 b^2 c}.$
(2)最简公分母是$x(x-1)^2$.
$\frac{1}{x^2 -x} =\frac{x-1}{x(x-1)^2},$
$\frac{-1}{x^2 -2x +1} =-\frac{x}{x(x-1)^2}.$
$\frac{a}{2b} =\frac{5a^3 bc}{10a^2 b^2 c},$
$\frac{2}{5a^2 b^2 c} =\frac{4}{10a^2 b^2 c}.$
(2)最简公分母是$x(x-1)^2$.
$\frac{1}{x^2 -x} =\frac{x-1}{x(x-1)^2},$
$\frac{-1}{x^2 -2x +1} =-\frac{x}{x(x-1)^2}.$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘相应的因式，使分母都变为最简公分母。
(1)两个分式的分母都是单项式：系数取2和5的最小公倍数10，相同字母a取最高次幂$a^2$、b取最高次幂$b^2$，单独出现的字母c直接纳入，即可得到最简公分母；再分别给两个分式的分子分母乘上分母缺少的因式即可。
(2)两个分式的分母是多项式：先对分母因式分解，$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$；再取各因式的最高次幂相乘得到最简公分母$x(x-1)^2$，最后给两个分式的分子分母乘上分母缺少的因式即可。
【解析】
(1) 先确定最简公分母为$10a^2b^2c$：
$\frac{a}{2b}$的分母需乘$5a^2bc$才能得到$10a^2b^2c$，根据分式基本性质，分子也乘$5a^2bc$，得$\frac{a}{2b}=\frac{a·5a^2bc}{2b·5a^2bc}=\frac{5a^3bc}{10a^2b^2c}$；
$\frac{2}{5a^2b^2c}$的分母需乘2才能得到$10a^2b^2c$，分子也乘2，得$\frac{2}{5a^2b^2c}=\frac{2×2}{5a^2b^2c×2}=\frac{4}{10a^2b^2c}$。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，确定最简公分母为$x(x-1)^2$：
$\frac{1}{x^2-x}$的分母需乘$(x-1)$才能得到$x(x-1)^2$，分子也乘$(x-1)$，得$\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1·(x-1)}{x(x-1)·(x-1)}=\frac{x-1}{x(x-1)^2}$；
$\frac{-1}{x^2-2x+1}$的分母需乘$x$才能得到$x(x-1)^2$，分子也乘$x$，得$\frac{-1}{(x-1)^2}=\frac{-1· x}{(x-1)^2· x}=-\frac{x}{x(x-1)^2}$。
【答案】
(1)最简公分母是$10a^2b^2c$，$\frac{a}{2b} =\frac{5a^3 bc}{10a^2 b^2 c}$，$\frac{2}{5a^2 b^2 c} =\frac{4}{10a^2 b^2 c}$；
(2)最简公分母是$x(x-1)^2$，$\frac{1}{x^2 -x} =\frac{x-1}{x(x-1)^2}$，$\frac{-1}{x^2 -2x +1} =-\frac{x}{x(x-1)^2}$。
【知识点】
1. 分式的通分
2. 最简公分母的确定
3. 因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确确定最简公分母，遇到多项式分母时要先因式分解再找公分母，熟练掌握该知识点是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘相应的因式，使分母都变为最简公分母。
(1)两个分式的分母都是单项式：系数取2和5的最小公倍数10，相同字母a取最高次幂$a^2$、b取最高次幂$b^2$，单独出现的字母c直接纳入，即可得到最简公分母；再分别给两个分式的分子分母乘上分母缺少的因式即可。
(2)两个分式的分母是多项式：先对分母因式分解，$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$；再取各因式的最高次幂相乘得到最简公分母$x(x-1)^2$，最后给两个分式的分子分母乘上分母缺少的因式即可。
【解析】
(1) 先确定最简公分母为$10a^2b^2c$：
$\frac{a}{2b}$的分母需乘$5a^2bc$才能得到$10a^2b^2c$，根据分式基本性质，分子也乘$5a^2bc$，得$\frac{a}{2b}=\frac{a·5a^2bc}{2b·5a^2bc}=\frac{5a^3bc}{10a^2b^2c}$；
$\frac{2}{5a^2b^2c}$的分母需乘2才能得到$10a^2b^2c$，分子也乘2，得$\frac{2}{5a^2b^2c}=\frac{2×2}{5a^2b^2c×2}=\frac{4}{10a^2b^2c}$。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，确定最简公分母为$x(x-1)^2$：
$\frac{1}{x^2-x}$的分母需乘$(x-1)$才能得到$x(x-1)^2$，分子也乘$(x-1)$，得$\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1·(x-1)}{x(x-1)·(x-1)}=\frac{x-1}{x(x-1)^2}$；
$\frac{-1}{x^2-2x+1}$的分母需乘$x$才能得到$x(x-1)^2$，分子也乘$x$，得$\frac{-1}{(x-1)^2}=\frac{-1· x}{(x-1)^2· x}=-\frac{x}{x(x-1)^2}$。
【答案】
(1)最简公分母是$10a^2b^2c$，$\frac{a}{2b} =\frac{5a^3 bc}{10a^2 b^2 c}$，$\frac{2}{5a^2 b^2 c} =\frac{4}{10a^2 b^2 c}$；
(2)最简公分母是$x(x-1)^2$，$\frac{1}{x^2 -x} =\frac{x-1}{x(x-1)^2}$，$\frac{-1}{x^2 -2x +1} =-\frac{x}{x(x-1)^2}$。
【知识点】
1. 分式的通分
2. 最简公分母的确定
3. 因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确确定最简公分母，遇到多项式分母时要先因式分解再找公分母，熟练掌握该知识点是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
6.先化简，再求值：$\frac{1-4x^2}{2x^2 + x}$，其中$x=-1$。
答案
解 $\frac{1-4x^2}{2x^2 +x} =\frac{1^2 -(2x)^2}{x(2x+1)}$
$=\frac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
$=\frac{1-2x}{x}.$
当$x=-1$时，
原式$=\frac{1-2×(-1)}{-1} =-3.$
$=\frac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
$=\frac{1-2x}{x}.$
当$x=-1$时，
原式$=\frac{1-2×(-1)}{-1} =-3.$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则可降低运算量。首先观察分式结构：分子$1-4x^2$符合平方差公式的形式，可利用平方差公式因式分解；分母$2x^2+x$含有公因式$x$，可先提取公因式完成因式分解；因式分解后约去分子分母的公因式得到最简分式，最后将$x=-1$代入最简分式计算即可，注意约分时需保证约去的公因式不为0，本题$x=-1$时公因式$2x+1=-1≠0$，可正常约分。
【解析】
1. 对分子、分母分别因式分解：
分子：$1-4x^2=1^2-(2x)^2=(1+2x)(1-2x)$
分母：$2x^2+x=x(2x+1)$
则原式变形为：$\frac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
2. 约分：约去分子分母的公因式$2x+1$，得最简分式：$\frac{1-2x}{x}$
3. 代入求值：将$x=-1$代入最简分式：
$\frac{1-2×(-1)}{-1}=\frac{1+2}{-1}=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式约分；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分式化简的基本流程，先将分子分母因式分解为乘积形式再约分，能有效减少直接代入求值的运算量和出错率，需注意约分时要保证公因式不为0。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则可降低运算量。首先观察分式结构：分子$1-4x^2$符合平方差公式的形式，可利用平方差公式因式分解；分母$2x^2+x$含有公因式$x$，可先提取公因式完成因式分解；因式分解后约去分子分母的公因式得到最简分式，最后将$x=-1$代入最简分式计算即可，注意约分时需保证约去的公因式不为0，本题$x=-1$时公因式$2x+1=-1≠0$，可正常约分。
【解析】
1. 对分子、分母分别因式分解：
分子：$1-4x^2=1^2-(2x)^2=(1+2x)(1-2x)$
分母：$2x^2+x=x(2x+1)$
则原式变形为：$\frac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
2. 约分：约去分子分母的公因式$2x+1$，得最简分式：$\frac{1-2x}{x}$
3. 代入求值：将$x=-1$代入最简分式：
$\frac{1-2×(-1)}{-1}=\frac{1+2}{-1}=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式约分；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分式化简的基本流程，先将分子分母因式分解为乘积形式再约分，能有效减少直接代入求值的运算量和出错率，需注意约分时要保证公因式不为0。
【难度系数】
0.8
7.定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:
$\frac{4x^2 -8x}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{x-2} =4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m,n$的值;
(2)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”,并说明理由.
$\frac{4x^2 -8x}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{x-2} =4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m,n$的值;
(2)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”,并说明理由.
答案
解 (1)$\because$分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2 -4x +m$,
$\therefore x^2 +(n-7)x -7n =x^2 -4x +m$,
$\therefore n-7=-4,m=-7n$,
$\therefore n=3,m=-21.$
(2)$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”.
理由如下：
$\because$分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A =\frac{-2x^3 +2x}{1-x} =\frac{2x(1-x^2)}{1-x} =\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x} =2x(1+x)$,即$A=2x^2 +2x$,
则$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} =\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2 +2x}$
$=\frac{2x(x^2 +2x +1)}{2x(x+1)} =\frac{(x+1)^2}{(x+1)}$
$=x+1$,
又$x+1$是整式，
$\therefore \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”.
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2 -4x +m$,
$\therefore x^2 +(n-7)x -7n =x^2 -4x +m$,
$\therefore n-7=-4,m=-7n$,
$\therefore n=3,m=-21.$
(2)$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”.
理由如下：
$\because$分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A =\frac{-2x^3 +2x}{1-x} =\frac{2x(1-x^2)}{1-x} =\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x} =2x(1+x)$,即$A=2x^2 +2x$,
则$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} =\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2 +2x}$
$=\frac{2x(x^2 +2x +1)}{2x(x+1)} =\frac{(x+1)^2}{(x+1)}$
$=x+1$,
又$x+1$是整式，
$\therefore \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”.
解析
【分析】
(1)根据“巧分式”和“巧整式”的定义，可知分式的分子等于巧整式乘以分母，即$x^2 -4x +m = (x+n)(x-7)$，将右边的多项式乘开后，根据左右两边同类项系数相等，即可列方程求出m、n的值。
(2)要判断给定分式是不是“巧分式”，首先需要根据已知的巧分式和巧整式求出分母A的表达式：由定义可得$A = \frac{-2x^3 +2x}{1-x}$，对分子因式分解后约分即可得到A；再将A代入待判断的分式，对分子因式分解后约分，若约分结果为整式，则该分式是巧分式。
【解析】
(1) $\because$ 分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$是“巧分式”，巧整式为$x-7$
$\therefore x^2 -4x +m = (x+n)(x-7)$
将右边展开得：$x^2 + (n-7)x -7n = x^2 -4x +m$
根据多项式相等对应系数相等，可得：
$\begin{cases}n-7=-4 \\ m=-7n\end{cases}$
解得：$n=3$，$m=-7×3=-21$
(2) $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”，理由如下：
$\because$ 分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的巧整式为$1-x$
$\therefore A = \frac{-2x^3 +2x}{1-x}$
对分子因式分解：
$A = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x} = 2x(1+x) = 2x^2 + 2x$（分式有意义前提下$1-x≠0$）
将$A=2x^2 +2x$代入待判断分式：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} = \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2 +2x}$
对分子分母分别因式分解：
原式$=\frac{2x(x^2 +2x +1)}{2x(x+1)} = \frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$（分式有意义前提下$x≠0$且$x≠-1$）
约分后得：$x+1$
$\because x+1$是整式，符合“巧分式”的定义
$\therefore \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”
【答案】
(1) $m=-21$，$n=3$；
(2) $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”，理由见解析。
【知识点】
分式的约分；多项式乘多项式；因式分解的应用
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解“巧分式”的定义，抓住“巧分式约分后为整式”的本质，结合整式乘除运算、因式分解等知识求解，能有效考查对新概念的理解能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)根据“巧分式”和“巧整式”的定义，可知分式的分子等于巧整式乘以分母，即$x^2 -4x +m = (x+n)(x-7)$，将右边的多项式乘开后，根据左右两边同类项系数相等，即可列方程求出m、n的值。
(2)要判断给定分式是不是“巧分式”，首先需要根据已知的巧分式和巧整式求出分母A的表达式：由定义可得$A = \frac{-2x^3 +2x}{1-x}$，对分子因式分解后约分即可得到A；再将A代入待判断的分式，对分子因式分解后约分，若约分结果为整式，则该分式是巧分式。
【解析】
(1) $\because$ 分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$是“巧分式”，巧整式为$x-7$
$\therefore x^2 -4x +m = (x+n)(x-7)$
将右边展开得：$x^2 + (n-7)x -7n = x^2 -4x +m$
根据多项式相等对应系数相等，可得：
$\begin{cases}n-7=-4 \\ m=-7n\end{cases}$
解得：$n=3$，$m=-7×3=-21$
(2) $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”，理由如下：
$\because$ 分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的巧整式为$1-x$
$\therefore A = \frac{-2x^3 +2x}{1-x}$
对分子因式分解：
$A = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x} = 2x(1+x) = 2x^2 + 2x$（分式有意义前提下$1-x≠0$）
将$A=2x^2 +2x$代入待判断分式：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A} = \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2 +2x}$
对分子分母分别因式分解：
原式$=\frac{2x(x^2 +2x +1)}{2x(x+1)} = \frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$（分式有意义前提下$x≠0$且$x≠-1$）
约分后得：$x+1$
$\because x+1$是整式，符合“巧分式”的定义
$\therefore \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”
【答案】
(1) $m=-21$，$n=3$；
(2) $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”，理由见解析。
【知识点】
分式的约分；多项式乘多项式；因式分解的应用
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解“巧分式”的定义，抓住“巧分式约分后为整式”的本质，结合整式乘除运算、因式分解等知识求解，能有效考查对新概念的理解能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
