典型分析1 某同学在测量液体密度时，对同种液体进行了多次测量，根据实验测得的烧杯和液体的总质量m与对应的液体体积V，绘制出了如图所示的m-V图像。下列分析正确的是()
①空烧杯的质量为15 g
②空烧杯的质量为32 g
③所测液体的密度为$1\ \mathrm{g/cm}^3$
④所测液体的密度为$0.85\ \mathrm{g/cm}^3$

A.只有①和④
B.只有②和④
C.只有②和③
D.只有①和③

A 解析 设空杯的质量为$m_0$,由题图可知,当液体的体积为$V_1=20\ \mathrm{cm}^3$时,总质量为$m_1=32\ \mathrm{g}$,则 $m_1=m_0+m_{\mathrm{液}}=m_0+\rho V_1$;当液体的体积为$V_2=60\ \mathrm{cm}^3$时,总质量为$m_2=66\ \mathrm{g}$,则 $m_2=m_0+m_{\mathrm{液}}'=m_0+\rho V_2$;联立解得$m_0=15\ \mathrm{g},\rho=0.85\ \mathrm{g/cm}^3$。①④正确,故选 A。

典型分析2 现有a、b两个小球，分别由密度为$\rho_{a}=4\ \mathrm{g/cm}^3$、$\rho_{b}=5\ \mathrm{g/cm}^3$的两种材料制成，两小球的质量之比$m_{a}:m_{b}=6:5$，体积之比$V_{a}:V_{b}=3:4$，则下列说法正确的是（）

A.若只有一个球是空心的，则a球是空心的
B.若只有一个球是空心的，则空心球空心部分的体积与实心球的体积之比为$3:2$
C.若两球均是空心的，a球的空心部分体积可以比b球的空心部分体积大
D.若只有一个球是空心的，将空心球的空心部分装上水（$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$），则该球实心部分的质量与所加水的质量之比为$5:1$

D 解析 由$\rho=\frac{m}{V}$可得,组成a、b两个小球的材料的体积之比(即实心部分的体积之比)$\frac{V_{\mathrm{a实}}}{V_{\mathrm{b实}}}=\frac{\frac{m_\mathrm{a}}{\rho_\mathrm{a}}}{\frac{m_\mathrm{b}}{\rho_\mathrm{b}}}=\frac{m_\mathrm{a}}{m_\mathrm{b}}×\frac{\rho_\mathrm{b}}{\rho_\mathrm{a}}=\frac{6}{5}×\frac{5\ \mathrm{g/cm}^3}{4\ \mathrm{g/cm}^3}=\frac{3}{2}＞\frac{3}{4}$(即大于两球的体积之比),若只有一个球是空心的,由前面计算可知b球的体积大于其材料的体积,故b球一定是空心的,a球一定是实心的,A错误。两球的体积之比$V_\mathrm{a}:V_\mathrm{b}=3:4$,设a球的体积为3V,则b球的体积为4V,由前面计算可知组成b球的材料的体积为2V,所以空心球空心部分的体积与实心球的体积之比$V_{\mathrm{b空}}:V_\mathrm{a}=(V_\mathrm{b}-V_{\mathrm{b实}}):V_\mathrm{a}=(4V-2V):3V=2:3$,B错误。将空心球的空心部分装上水,则该球实心部分的质量与所加水的质量之比$\frac{m_\mathrm{b}}{m_\mathrm{水}}=\frac{\rho_\mathrm{b}V_{\mathrm{b实}}}{\rho_\mathrm{水}V_{\mathrm{b空}}}=\frac{\rho_\mathrm{b}}{\rho_\mathrm{水}}×\frac{V_{\mathrm{b实}}}{V_\mathrm{b}-V_{\mathrm{b实}}}=\frac{5\ \mathrm{g/cm}^3}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}×\frac{2V}{4V-2V}=\frac{5}{1}$,D正确。若两球均是空心的,因$\frac{V_{\mathrm{a实}}}{V_{\mathrm{b实}}}=\frac{3}{2}$,设组成a球的材料的体积为$3V'$,则组成b球的材料的体积为$2V'$,则两球的实际体积之比$\frac{V_\mathrm{a}}{V_\mathrm{b}}=\frac{3V'+V_{\mathrm{a空}}}{2V'+V_{\mathrm{b空}}}=\frac{3}{4}$,整理可得$V_{\mathrm{b空}}=\frac{4}{3}V_{\mathrm{a空}}+2V'＞V_{\mathrm{a空}}$,所以a球的空心部分体积不可能比b球的空心部分体积大,C错误。