一、选择题
1. 一台机器原价100万元，若每年的折旧率是$x$，两年后这台机器约为$y$万元，则$y$与$x$的函数关系式为()

A.$y=100(1-x)^2$
B.$y=100(1-x)$
C.$y=100-x^2$
D.$y=100(1+x)^2$

1. A

【分析】
解题时首先要明确折旧率的含义：每年折旧率为x，意味着每经过一年，机器的价值变为上一年价值的(1-x)倍。我们可以逐年推导机器的价值：先计算第一年末的机器价值，再以第一年末的价值为基数计算第二年末的价值，最终就能得到y与x的函数关系式。
【解析】
第一步：计算第一年末的机器价值。已知原价为100万元，年折旧率为x，因此第一年末机器价值为：$100(1-x)$万元。
第二步：计算第二年末的机器价值。第二年是在第一年末价值的基础上继续折旧，因此第二年末价值y为第一年末价值乘以$(1-x)$，即：
$y = 100(1-x) · (1-x) = 100(1-x)^2$
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二次函数解析式；折旧率问题
【点评】
本题是典型的变化率类函数应用基础题，核心是掌握这类问题的递推逻辑：每期的价值都以上一期的价值为基数计算，通用公式为：初始量为a，每期变化率为x，n期后对应的量为$a(1\pm x)^n$（价值上升用加号，下降/折旧用减号），熟练掌握该公式可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.9

2. 如图1，二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交x轴于A,B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为()



A.6
B.4
C.3
D.2

2. C

【分析】
要计算△ABC的面积，首先需要确定三个顶点的坐标：①A、B是二次函数与x轴的交点，可通过令y=0解一元二次方程得到两点横坐标；②C是二次函数与y轴的交点，可通过令x=0代入函数得到纵坐标。由于A、B都在x轴上，AB的长度为两点横坐标的差的绝对值，AB边上的高就是C点到x轴的距离（即C点纵坐标的绝对值），最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令二次函数$y=x^2-4x+3$中$y=0$，得方程：
$x^2-4x+3=0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$
即A、B坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，因此$AB=|3-1|=2$
2. 求C点坐标：
令二次函数$y=x^2-4x+3$中$x=0$，得$y=3$
即C点坐标为$(0,3)$，C到x轴的距离为3，也就是△ABC中AB边上的高为3
3. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
C
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点求解；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数与几何结合的基础题，重点考查二次函数与坐标轴交点的求法，结合基础的三角形面积公式即可解答，解题关键是准确求出三个交点的坐标。
【难度系数】
0.8

3. 如图2,等腰$Rt△ ABC(∠ ACB = 90°)$的直角边与正方形$DEFG$的边长均为2,且$AC$与$DE$在同一条直线上,开始时,点$C$与点$D$重合,让$△ ABC$沿直线向右平移,直到点$A$与点$E$重合为止.设$CD$的长为$x$,$△ ABC$与正方形$DEFG$重合部分(图中阴影部分)的面积为$y$,则$y$与$x$之间的函数的图象大致是()

3. A

【分析】
我们分两个阶段讨论y随x的变化规律：
1. 当$0≤ x≤2$时，等腰$Rt△ ABC$向右平移过程中，三角形左侧有一部分在正方形外，外露部分是直角边长为$(2-x)$的等腰直角三角形，因此重合部分面积等于$△ ABC$的总面积减去外露部分的面积，该阶段函数是开口向下的二次函数，y随x增大而增大，$x=2$时y取最大值2。
2. 当$2＜x≤4$时，$△ ABC$的右侧移出正方形，重合部分是直角边长为$(4-x)$的等腰直角三角形，该阶段函数是开口向上的二次函数，y随x增大而减小，$x=4$时$y=0$。结合两段函数的图像特征即可选出正确选项。
【解析】
解：分两种情况计算重合部分面积：
①当$0≤ x≤2$时：
等腰$Rt△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$，
此时三角形左侧露在正方形外的部分是直角边长为$(2-x)$的等腰直角三角形，其面积为$\frac{1}{2}(2-x)^2$，
因此重合部分面积$y=2-\frac{1}{2}(2-x)^2=-\frac{1}{2}x^2+2x$，这是开口向下的二次函数，图像为上升的上凸曲线；
②当$2＜x≤4$时：
此时重合部分是直角边长为$(4-x)$的等腰直角三角形，
因此重合部分面积$y=\frac{1}{2}(4-x)^2=\frac{1}{2}x^2-4x+8$，这是开口向上的二次函数，图像为下降的下凸曲线；
结合两段函数的图像特征，只有选项A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
动点问题的函数图像；二次函数的图像；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查动点问题的函数图像，解题关键是分阶段判断重合部分的几何形状，结合面积公式推导分段函数解析式，再根据二次函数的图像特征判断对应图像。
【难度系数】
0.6

4. 如图3,有一块边长为6 cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是()

A.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\dfrac{3}{2}\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\dfrac{9}{2}\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{27}{2}\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$

4. C

【分析】
解题时先结合几何性质建立侧面积的函数关系，再用二次函数最值求解：第一步设直三棱柱的高为未知数，根据正三角形内角特点，推导底面正三角形边长和高的数量关系；第二步根据侧面积是三个矩形面积之和，写出侧面积关于高的二次函数表达式；第三步利用开口向下的二次函数在顶点处取最大值的性质，计算侧面积最大值即可。
【解析】
设折成的直三棱柱纸盒的高为$ x \, \mathrm{cm} $，底面正三角形的边长为$ a \, \mathrm{cm} $。
已知原正三角形内角为$ 60° $，截去的筝形全等，折起后侧面垂直底面，可得原正三角形每条边上截去的两段长度均为$ \sqrt{3}x $，结合原边长为$ 6\,\mathrm{cm} $，得：
$ a = 6 - 2\sqrt{3}x \quad (0＜x＜\sqrt{3}) $
直三棱柱侧面积为3个全等矩形的面积和，因此：
$ S = 3 · a · x = 3x(6 - 2\sqrt{3}x) $
整理为二次函数形式：$ S = -6\sqrt{3}x^2 + 18x $
因二次项系数$ -6\sqrt{3}＜0 $，函数开口向下，在顶点处取最大值，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2×(-6\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2} $时，侧面积最大，代入得：
$ S_{\mathrm{max}} = -6\sqrt{3}×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 18×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值；正三角形性质；直棱柱侧面积计算
【点评】
本题结合几何折叠问题与二次函数应用，需要考生先通过几何关系建立函数模型，再用二次函数性质求解，考查了数形结合思想和数学建模能力。
【难度系数】
0.6

二、填空题
1. 如图4是一学生推铅球时，铅球行进高度$y$(单位:$\mathrm{m}$)与水平距离$x$(单位:$\mathrm{m}$)的函数图象.观察图象，铅球推出的距离是$\mathrm{m}$.

1. 10

【分析】
解决本题首先要明确铅球推出距离的实际含义：铅球落地时对应的水平距离，此时铅球的行进高度为0，对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。因为x=0是铅球出手的初始位置，因此只需找到图象与x轴另一个交点的横坐标，就是铅球推出的距离。
【解析】
铅球推出的距离是铅球从出手到落地的水平距离，此时铅球高度y=0。
观察图象可得，当y=0时，x的取值为0和10，其中x=0是铅球的出手位置，因此铅球推出的距离为10m。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用；函数图象交点的意义
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，解题核心是将实际问题转化为函数图象的交点问题，结合图象读取数值即可，注意区分初始位置和落地位置对应的横坐标。
【难度系数】
0.9

2. 食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(单位:个)与销售价格x(单位:元/个)的关系如图5所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元.

2. 121

【分析】
要解决这个利润最值问题，核心思路是遵循“总利润=单个利润×销售量”的公式逐步推导：
1. 先明确单个利润为售价减去成本，即$(x-8)$元；
2. 已知$10≤x≤20$时销售量$y$与$x$是一次函数关系（线段AB），第一步需要用待定系数法求出该区间内$y$关于$x$的解析式；
3. 将总利润表示为关于$x$的函数，可知是二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴，在$x$的取值范围内求出最大值即可。
【解析】
当$10≤x≤20$时，设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$，由线段AB过点$(10,20)$和$(20,10)$，代入得：
$\begin{cases}10k+b=20\\20k+b=10\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=30\end{cases}$，因此$y=-x+30\ (10≤x≤20)$。
设每天的销售利润为$w$元，根据利润公式得：
$w=(x-8)y=(x-8)(-x+30)$
展开整理得：$w=-x^2+38x-240$
该二次函数二次项系数$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{38}{2×(-1)}=19$，$19$在$10≤x≤20$的取值范围内，因此当$x=19$时，$w$取最大值：
$w_{\mathrm{max}}=(19-8)×(-19+30)=11×11=121$
【答案】
121
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数最值
【点评】
本题是典型的销售类二次函数应用题型，解题关键是牢记利润计算公式，先结合已知条件求出销售量的函数表达式，再构造二次函数利用性质求最值，侧重考查函数知识在实际问题中的应用能力。
【难度系数】
0.65