综合与实践五
形数本相通，勾股显其宗。勾股定理（毕达哥拉斯定理）是平面几何的核心定理之一，描述直角三角形三边关系：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为斜边）。其历史可追溯至古巴比伦（约公元前1800年），中国《周髀算经》（约公元前1世纪）记载了“勾三股四弦五”的特例，古希腊毕达哥拉斯学派（公元前6世纪）首次给出严格证明。该定理是数形结合的典范，推动了无理数、三角学的发展，并在建筑、物理、计算机图形学等领域广泛应用，成为数学史上最具影响力的定理之一。
【活动目标】通过拼图、折纸等方式，直观验证勾股定理。
【活动任务】
任务1：拼图验证实验
•材料：卡纸、剪刀、胶水、彩笔。
•方法：
1. 剪出两个较小的正方形（边长分别为3 cm和4 cm）和一个较大的正方形（边长为5 cm）。
2. 尝试用$3^2 + 4^2$的小正方形拼出$5^2$的大正方形（面积相等）。
3. 思考：为什么这种拼法能证明勾股定理？

解：
1. 拼图操作：
将边长为3cm和4cm的两个小正方形摆放在同一平面上，剪出4个直角边分别为3cm、4cm，斜边长为5cm的全等直角三角形，将4个直角三角形的斜边作为大正方形的四条边，依次环绕摆放，剩余空隙部分拼接后，即可组合成边长为5cm的完整大正方形。
2. 原理说明：
边长为3cm的正方形面积为$3^2$，边长为4cm的正方形面积为$4^2$，二者面积之和为$3^2+4^2=25\ \mathrm{cm}^2$。
拼接得到的边长为5cm的大正方形面积为$5^2=25\ \mathrm{cm}^2$，因此两个小正方形的总面积与大正方形面积相等。
将该特例推广到一般直角三角形：设直角三角形两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$，边长为$a$、$b$的正方形面积和为$a^2+b^2$，通过相同的拼图方法，可将这两个正方形剪开后拼接为以斜边$c$为边长的正方形，其面积为$c^2$，由面积相等可得$a^2+b^2=c^2$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此该拼法可以直观验证勾股定理。

任务2：折纸证明法
• 方法：
1. 取一张A4纸，折叠出一个直角三角形（边长比如3：4：5）。
2. 通过折叠，使两个小正方形的面积刚好覆盖大正方形。

解：
1. 折叠3:4:5直角三角形操作：
将A4纸横向连续对折2次，得到长度为原A4纸长$\frac{1}{4}$的基准单位长度，取3倍基准长度为直角边$a$，4倍基准长度为另一条直角边$b$，沿互相垂直的方向折出两条直角边，连接两条直角边的外端点，即可得到斜边长为5倍基准长度的直角三角形，记为$\mathrm{Rt}△ ACB$，$∠ C=90°$，$AC=3k$，$BC=4k$，$AB=5k$（$k$为基准单位长度）。
2. 折叠验证面积关系证明勾股定理：
分别以$\mathrm{Rt}△ ACB$的两条直角边$AC$、$BC$为边长，向三角形外部分别折出边长为$3k$的小正方形$S_1$、边长为$4k$的小正方形$S_2$，再以斜边$AB$为边长向三角形外部折出边长为$5k$的大正方形$S_3$。
计算得：
$S_1=(3k)^2=9k^2$，$S_2=(4k)^2=16k^2$，
$S_1+S_2=9k^2+16k^2=25k^2$，
$S_3=(5k)^2=25k^2$。
将两个小正方形$S_1$、$S_2$沿预先折出的分割线折叠，把两个小正方形的所有部分无重叠、无空隙地翻折到大正方形$S_3$上，恰好可以完全覆盖大正方形，由此证明直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理$a^2+b^2=c^2$成立。