9 [2024 通辽]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=k_1x+b_1$与$y=k_2x+b_2$（其中$k_1k_2≠0$，$k_1,k_2,b_1,b_2$为常数）的图象分别为直线$l_1,l_2$.下列结论正确的是（）

A.$b_1+b_2＞0$
B.$b_1b_2＞0$
C.$k_1+k_2＜0$
D.$k_1k_2＜0$

9.A

【分析】
解题时首先回忆一次函数$y=kx+b$中系数的几何意义：$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标，$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$y$随$x$增大而增大；$k＜0$时相反）。先从图象中提取两个函数的$k_1、k_2、b_1、b_2$的正负和大致数值，再逐一验证每个选项的结论是否正确。
【解析】
1. 判断$b_1、b_2$的取值：
直线$l_1$与$y$轴交于正半轴，交点纵坐标约为2，因此$b_1=2＞0$；
直线$l_2$与$y$轴交于负半轴，交点纵坐标约为-1，因此$b_2=-1＜0$。
2. 判断$k_1、k_2$的取值：
两条直线均从左下向右上倾斜，$y$都随$x$的增大而增大，因此$k_1＞0$，$k_2＞0$。
3. 逐一判断选项：
A. $b_1+b_2\approx2+(-1)=1＞0$，结论正确；
B. $b_1＞0$，$b_2＜0$，则$b_1b_2＜0$，结论错误；
C. $k_1＞0$，$k_2＞0$，则$k_1+k_2＞0$，结论错误；
D. $k_1＞0$，$k_2＞0$，则$k_1k_2＞0$，结论错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系、有理数运算的符号判断
【点评】
本题是一次函数图象性质的基础应用题，解题核心是掌握一次函数中$k、b$的几何意义，能从图象中快速提取系数的相关信息，再结合有理数运算法则判断即可，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

10 将直线$y=kx-2$先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，正好经过点$(2,-4)$，则$k$的值为。

10.$-2$ 【解析】直线 $y=kx-2$ 经过两次平移后为直线 $y=k(x-3)-2-4$,将 $(2,-4)$ 代入 $y=k(x-3)-2-4$,得$-4=(2-3)k-2-4$,解得 $k=-2$.

【分析】
解决本题首先需要掌握一次函数的平移规律：“左加右减、上加下减”，其中左右平移是对自变量x进行操作，上下平移是对整个函数解析式的常数项进行操作。解题思路为：首先根据平移规则求出两次平移后直线的解析式，再将已知点的坐标代入平移后的解析式，得到关于k的一元一次方程，最后解方程即可求出k的值。
【解析】
根据一次函数“左加右减（针对x），上加下减（针对常数项）”的平移规律：
1. 将直线$y=kx-2$向右平移3个单位长度，可得解析式：$y=k(x-3)-2$；
2. 再将得到的直线向下平移4个单位长度，可得平移后的最终解析式：$y=k(x-3)-2-4$，整理得$y=k(x-3)-6$；
3. 已知平移后的直线经过点$(2,-4)$，将$x=2$，$y=-4$代入上述解析式，得：
$-4=k(2-3)-6$
化简得：$-4=-k-6$
移项求解：$-k=-4+6=2$，即$k=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，核心考查平移规则的正确应用，易错点是容易混淆“左加右减”的适用对象，要注意左右平移仅对自变量x进行加减操作，牢记平移规则后代入点坐标求解参数即可，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

11 已知关于$x$的一次函数$y=(2-2k)x + k - 3$，根据下列条件确定$k$的值或取值范围.
（1）函数图象经过原点；
（2）函数图象与$y$轴的交点在$x$轴的下方；
（3）函数图象不经过第三象限.

11.(1) 把$(0,0)$代入 $y=(2-2k)x + k - 3$,得 $k-3=0$,解得 $k=3$
(2) 根据题意,得 $k-3＜0$,$2-2k≠0$,解得 $k＜3$ 且 $k≠1$
(3) 根据题意,得 $2-2k＜0$,$k-3≥ 0$,解得 $k≥ 3$

【分析】
（1）函数图象经过原点，原点坐标为(0,0)，函数图象上的点满足函数解析式，将(0,0)代入解析式即可求出k的值，同时要验证一次项系数不为0，符合一次函数的定义。
（2）函数图象与y轴的交点在x轴下方，当x=0时对应的y值就是交点的纵坐标，因此常数项需小于0；同时该函数是一次函数，一次项系数不能为0，联立两个条件即可求出k的取值范围。
（3）一次函数图象不经过第三象限，说明函数图象呈下降趋势（一次项系数小于0），且与y轴的交点在x轴上方或原点（常数项大于等于0），联立两个不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
（1）将原点$(0,0)$代入$y=(2-2k)x + k - 3$，得：
$k-3=0$
解得$k=3$，此时一次项系数$2-2×3=-4≠0$，符合一次函数定义。
（2）当$x=0$时，$y=k-3$，即函数与y轴交点为$(0,k-3)$，根据题意列条件：
$\begin{cases}k-3＜0 \\2-2k≠0 \end{cases}$
解得$k＜3$且$k≠1$。
（3）根据一次函数图象不经过第三象限的特征列条件：
$\begin{cases}2-2k＜0 \\k-3≥0 \end{cases}$
解第一个不等式得$k＞1$，解第二个不等式得$k≥3$，取交集得$k≥3$。
【答案】
（1）$k=3$；
（2）$k＜3$且$k≠1$；
（3）$k≥3$
【知识点】
一次函数的定义，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握一次函数中一次项系数、常数项分别对函数增减性、与坐标轴交点位置的影响，求解时注意不要遗漏一次函数一次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7

12 [2025 德州]如图，$A(-6,0),B(0,8)$，点$M$在线段$OB$上，将$△ ABM$沿直线$AM$折叠，点$B$恰好落在点$B'(a,0)$处.
（1）求$a$的值；
（2）求直线$AM$对应的函数表达式；
（3）若直线$y=-x+t$与直线$AM$的交点在直线$x=a$的左侧，请直接写出$t$的取值范围.

12.(1) $\because A(-6,0),B(0,8),\therefore OA=6,OB=8$.
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 中, $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 由折叠的性质,得 $△ ABM ≌ △ AB'M$,$\therefore AB=AB'=OA+OB'=10$,$\therefore OB'=4$,$\therefore a=4$
(2) 设$M(0,m)$,则 $OM=m$. $\because △ ABM ≌ △ AB'M$,$\therefore BM=B'M=8-m$. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OB'M$ 中, $MB'^2=OM^2+OB'^2$,$OB'=4$,$\therefore (8-m)^2=m^2+16$, 解得 $m=3$,$\therefore M(0,3)$. 设直线 $AM$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$. $\because$ 点 $A(-6,0),M(0,3)$ 在直线 $AM$ 上,
$\therefore \begin{cases} -6k+b=0,\\ b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=3, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AM$ 对应的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+3$
(3) 由(2),得直线 $AM$ 对应的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+3$. 令 $-x+t=\dfrac{1}{2}x+3$, 解得 $x=\dfrac{2t-6}{3}$, 即直线 $y=-x+t$ 与直线 $AM$ 交点的横坐标为 $\dfrac{2t-6}{3}$. 由(1),得 $a=4$,$\therefore \dfrac{2t-6}{3}＜4$,$\therefore t＜9$

【分析】
（1）首先根据A、B两点坐标得到OA、OB的长度，利用勾股定理计算出AB的长度，再根据折叠前后对应边相等的性质，得到AB=AB'，进而求出OB'的长度，即可得到a的值；
（2）设M的坐标为(0,m)，由折叠性质可得BM=B'M，在Rt△OB'M中利用勾股定理列方程求出m的值，确定M点坐标，再代入A、M两点坐标，用待定系数法即可求出直线AM的函数表达式；
（3）先联立直线y=-x+t和直线AM的解析式，求出交点的横坐标，根据交点在直线x=a的左侧，即交点横坐标小于4，列不等式求解即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) $\because A(-6,0),B(0,8),\therefore OA=6,OB=8$.
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 中, $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 由折叠的性质,得 $△ ABM ≌ △ AB'M$,$\therefore AB=AB'=10$,
$\therefore OB'=AB'-OA=10-6=4$,$\therefore a=4$.
(2) 设$M(0,m)$,则 $OM=m$. $\because △ ABM ≌ △ AB'M$,$\therefore BM=B'M=8-m$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OB'M$ 中, $MB'^2=OM^2+OB'^2$,$OB'=4$,
$\therefore (8-m)^2=m^2+4^2$, 解得 $m=3$,$\therefore M(0,3)$.
设直线 $AM$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$.
$\because$ 点 $A(-6,0),M(0,3)$ 在直线 $AM$ 上,
$\therefore \begin{cases} -6k+b=0,\\ b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AM$ 对应的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+3$.
(3) 联立$\begin{cases} y=-x+t \\ y=\dfrac{1}{2}x+3 \end{cases}$, 解得 $x=\dfrac{2t-6}{3}$, 即两直线交点的横坐标为 $\dfrac{2t-6}{3}$.
由题意交点在直线$x=4$左侧, $\therefore \dfrac{2t-6}{3}＜4$, 解得$t＜9$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=4}$
(2) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+3}$
(3) $\boldsymbol{t＜9}$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 勾股定理
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与几何折叠结合的中档综合题，将几何图形性质和函数计算相结合，解题核心是利用折叠得到相等线段，结合方程思想求解未知线段长度，再运用一次函数性质解决交点相关的不等式问题，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.65