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11.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给出了4个答案，其中只有一个答案是正确的，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或错选扣2分.如果小刚要在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要选对(
A.18道题
B.19道题
C.20道题
D.21道题
B
)A.18道题
B.19道题
C.20道题
D.21道题
答案
11.B
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：1. 明确不等关系：小刚的竞赛得分不低于60分，也就是得分≥60分；2. 设未知数：设选对的题数为x道，那么不选或错选的题数为总题数减去选对的数量，即(25-x)道；3. 表示总得分：选对题总得分是4x分，不选或错选总共要扣2(25-x)分，总得分=选对题得分 - 扣掉的分数；4. 列不等式求解，最后注意题数是正整数，要取符合条件的最小整数。
【解析】
解：设小刚选对了x道题，则不选或错选的题数为(25-x)道。
根据得分不低于60分的要求，可列不等式：
$4x - 2(25 - x) ≥ 60$
展开括号得：
$4x - 50 + 2x ≥ 60$
合并同类项得：
$6x ≥ 110$
系数化为1得：
$x ≥ \frac{55}{3} \approx 18.33$
由于题数x必须是正整数，因此x的最小取值为19，即小刚至少要选对19道题。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的应用、解一元一次不等式、不等式的整数解
【点评】
本题属于不等式实际应用的典型题型，解题的关键是准确理解“不低于”的含义，正确梳理得分、扣分的计算逻辑列出不等关系，同时要注意题数为正整数的实际限制，不能直接取小数结果，需结合实际要求取整。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：1. 明确不等关系：小刚的竞赛得分不低于60分，也就是得分≥60分；2. 设未知数：设选对的题数为x道，那么不选或错选的题数为总题数减去选对的数量，即(25-x)道；3. 表示总得分：选对题总得分是4x分，不选或错选总共要扣2(25-x)分，总得分=选对题得分 - 扣掉的分数；4. 列不等式求解，最后注意题数是正整数，要取符合条件的最小整数。
【解析】
解：设小刚选对了x道题，则不选或错选的题数为(25-x)道。
根据得分不低于60分的要求，可列不等式：
$4x - 2(25 - x) ≥ 60$
展开括号得：
$4x - 50 + 2x ≥ 60$
合并同类项得：
$6x ≥ 110$
系数化为1得：
$x ≥ \frac{55}{3} \approx 18.33$
由于题数x必须是正整数，因此x的最小取值为19，即小刚至少要选对19道题。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的应用、解一元一次不等式、不等式的整数解
【点评】
本题属于不等式实际应用的典型题型，解题的关键是准确理解“不低于”的含义，正确梳理得分、扣分的计算逻辑列出不等关系，同时要注意题数为正整数的实际限制，不能直接取小数结果，需结合实际要求取整。
【难度系数】
0.7
12.如图5,在$3×3$的方格上做填字游戏,要求每行、每列及对角线上三个方格中的数之和都相等,$x,y$的值分别是 (
A.$1,-1$
B.$-1,1$
C.$2,-1$
D.$-2,1$
B
)A.$1,-1$
B.$-1,1$
C.$2,-1$
D.$-2,1$
答案
12.B
解析
【分析】
这是一道三阶幻方的应用题，解题核心依据是题目给出的“每行、每列及对角线上三个方格中的数之和都相等”的规则。我们可以先设这个相等的和为S，找到已知数较多的行、列或对角线，列出关于x、y和S的方程，通过消元先求出其中一个未知数，再推导另一个未知数的值即可。
【解析】
设每行、每列、对角线上三个数的相等和为S。
第一步：观察含公共未知数y的对角线，结合已知数可得该对角线的和为：$2 + y + (-3) = S$，化简得：$y - 1 = S$ ①；
第二步：观察第一行，可得第一行的和为：$x + 3 + 2 = S$，化简得：$x + 5 = S$ ②；
第三步：观察第一列，可得第一列的和为：$x + 4 + (-3) = S$，化简得：$x + 1 = S$ ③；
联立①②③，先将①代入③得：$x + 1 = y - 1$，再结合②③可得$x +5 =x +1 +4$，进一步解得$y=1$，将$y=1$代入①得$S=0$，再将$S=0$代入②得$x=-1$。
因此$x=-1$，$y=1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 三阶幻方性质
2. 一元一次方程应用
【点评】
本题考查幻方的基本性质，解题的关键是抓住“所有行、列、对角线三数之和相等”的核心特点，通过设未知数建立方程求解，属于基础的方程应用类题目。
【难度系数】
0.7
这是一道三阶幻方的应用题，解题核心依据是题目给出的“每行、每列及对角线上三个方格中的数之和都相等”的规则。我们可以先设这个相等的和为S，找到已知数较多的行、列或对角线，列出关于x、y和S的方程，通过消元先求出其中一个未知数，再推导另一个未知数的值即可。
【解析】
设每行、每列、对角线上三个数的相等和为S。
第一步：观察含公共未知数y的对角线，结合已知数可得该对角线的和为：$2 + y + (-3) = S$，化简得：$y - 1 = S$ ①；
第二步：观察第一行，可得第一行的和为：$x + 3 + 2 = S$，化简得：$x + 5 = S$ ②；
第三步：观察第一列，可得第一列的和为：$x + 4 + (-3) = S$，化简得：$x + 1 = S$ ③；
联立①②③，先将①代入③得：$x + 1 = y - 1$，再结合②③可得$x +5 =x +1 +4$，进一步解得$y=1$，将$y=1$代入①得$S=0$，再将$S=0$代入②得$x=-1$。
因此$x=-1$，$y=1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 三阶幻方性质
2. 一元一次方程应用
【点评】
本题考查幻方的基本性质，解题的关键是抓住“所有行、列、对角线三数之和相等”的核心特点，通过设未知数建立方程求解，属于基础的方程应用类题目。
【难度系数】
0.7
13.如图6,直线$a// b$,直线AC分别交a,b于点B,C,直线AD交a于点D.若$∠1=20°,∠2=65°$,则$∠3=$
$45°$
.答案
13.$45°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件直线a//b入手，利用平行线的性质得到相等的角，再结合三角形的外角性质求解∠3。第一步，根据两直线平行同位角相等，得到与∠2相等的角，该角恰好是包含∠1和∠3的三角形的外角；第二步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知角度计算即可得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 直线a//b（已知）
∴ ∠DBC = ∠2 = 65°（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠DBC是△ABD的外角
∴ ∠DBC = ∠1 + ∠3（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
将∠1=20°代入得：
∠3 = ∠DBC - ∠1 = 65° - 20° = 45°
【答案】
45°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质，找到角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件直线a//b入手，利用平行线的性质得到相等的角，再结合三角形的外角性质求解∠3。第一步，根据两直线平行同位角相等，得到与∠2相等的角，该角恰好是包含∠1和∠3的三角形的外角；第二步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知角度计算即可得到∠3的度数。
【解析】
解：
∵ 直线a//b（已知）
∴ ∠DBC = ∠2 = 65°（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠DBC是△ABD的外角
∴ ∠DBC = ∠1 + ∠3（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
将∠1=20°代入得：
∠3 = ∠DBC - ∠1 = 65° - 20° = 45°
【答案】
45°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质，找到角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x＜3(x-3)+1,\\\dfrac{3x+2}{4}＞x+a\end{cases}$有四个整数解，求$a$的取值范围。
答案
14.$-\frac{11}{4}≤a＜-\frac{5}{2}$
解析
【分析】
要解决这类含参数的不等式组整数解问题，解题思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到含参数a的解集；第二步根据“有四个整数解”的条件，确定这四个整数解的具体值；第三步结合解集的范围，列出关于参数a的不等式组，特别注意验证端点值是否能取到，最后求解得到a的取值范围。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$2x＜3(x-3)+1$：
去括号得：$2x ＜ 3x - 9 + 1$
整理得：$2x ＜ 3x - 8$
移项得：$2x - 3x ＜ -8$
合并同类项得：$-x ＜ -8$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$\boldsymbol{x ＞ 8}$
解不等式$\dfrac{3x+2}{4}＞x+a$：
两边同时乘4去分母得：$3x + 2 ＞ 4x + 4a$
移项得：$3x - 4x ＞ 4a - 2$
合并同类项得：$-x ＞ 4a - 2$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$\boldsymbol{x ＜ 2 - 4a}$
第二步：确定不等式组的解集
结合两个不等式的解，可得不等式组的解集为：$\boldsymbol{8 ＜ x ＜ 2 - 4a}$
第三步：根据整数解的个数列不等式
因为不等式组有四个整数解，大于8的最小四个整数依次是9、10、11、12，说明解集的右边界$2-4a$需要满足：包含12，但不包含13（若包含13则会出现第五个整数解13），因此列不等式：
$12 ＜ 2 - 4a ≤ 13$
第四步：解关于a的不等式
不等式各部分同时减2，得：$10 ＜ -4a ≤ 11$
不等式各部分同时除以$-4$，不等号方向全部改变，得：
$-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$
【答案】
$-\dfrac{11}{4}≤a＜-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组整数解应用，不等式的性质
【点评】
本题是不等式组整数解的常考题型，解题核心是先求出不含参数的解集边界，再根据整数解的个数确定含参数边界的取值范围，求解时需格外注意端点值的取舍，避免因漏判端点导致多解或错解。
【难度系数】
0.4
要解决这类含参数的不等式组整数解问题，解题思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到含参数a的解集；第二步根据“有四个整数解”的条件，确定这四个整数解的具体值；第三步结合解集的范围，列出关于参数a的不等式组，特别注意验证端点值是否能取到，最后求解得到a的取值范围。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$2x＜3(x-3)+1$：
去括号得：$2x ＜ 3x - 9 + 1$
整理得：$2x ＜ 3x - 8$
移项得：$2x - 3x ＜ -8$
合并同类项得：$-x ＜ -8$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$\boldsymbol{x ＞ 8}$
解不等式$\dfrac{3x+2}{4}＞x+a$：
两边同时乘4去分母得：$3x + 2 ＞ 4x + 4a$
移项得：$3x - 4x ＞ 4a - 2$
合并同类项得：$-x ＞ 4a - 2$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$\boldsymbol{x ＜ 2 - 4a}$
第二步：确定不等式组的解集
结合两个不等式的解，可得不等式组的解集为：$\boldsymbol{8 ＜ x ＜ 2 - 4a}$
第三步：根据整数解的个数列不等式
因为不等式组有四个整数解，大于8的最小四个整数依次是9、10、11、12，说明解集的右边界$2-4a$需要满足：包含12，但不包含13（若包含13则会出现第五个整数解13），因此列不等式：
$12 ＜ 2 - 4a ≤ 13$
第四步：解关于a的不等式
不等式各部分同时减2，得：$10 ＜ -4a ≤ 11$
不等式各部分同时除以$-4$，不等号方向全部改变，得：
$-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$
【答案】
$-\dfrac{11}{4}≤a＜-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组整数解应用，不等式的性质
【点评】
本题是不等式组整数解的常考题型，解题核心是先求出不含参数的解集边界，再根据整数解的个数确定含参数边界的取值范围，求解时需格外注意端点值的取舍，避免因漏判端点导致多解或错解。
【难度系数】
0.4
15. 如图7，已知在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，BE是高，$∠ BAC=60°$，$∠ EBC=20°$，求$∠ ADC$的度数.
答案
15.$∠ADC=80°$
解析
【分析】
要求∠ADC的度数，可按以下步骤思考：第一步，BE是△ABC的高，可得△BEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠C的度数；第二步，根据AD是∠BAC的角平分线，结合已知∠BAC的度数，求出∠DAC的度数；第三步，在△ADC中，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵BE是高，
∴∠BEC=90°，
在Rt△BEC中，∠EBC=20°，
∴∠C=90°-∠EBC=90°-20°=70°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在△ADC中，根据三角形内角和为180°：
∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-70°-30°=80°。
【答案】
∠ADC=80°
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是结合已知条件，逐步推导所需的未知角的度数，计算过程较为简单，只要熟练掌握三角形相关的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要求∠ADC的度数，可按以下步骤思考：第一步，BE是△ABC的高，可得△BEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠C的度数；第二步，根据AD是∠BAC的角平分线，结合已知∠BAC的度数，求出∠DAC的度数；第三步，在△ADC中，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵BE是高，
∴∠BEC=90°，
在Rt△BEC中，∠EBC=20°，
∴∠C=90°-∠EBC=90°-20°=70°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在△ADC中，根据三角形内角和为180°：
∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-70°-30°=80°。
【答案】
∠ADC=80°
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是结合已知条件，逐步推导所需的未知角的度数，计算过程较为简单，只要熟练掌握三角形相关的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
16.已知关于$x$的方程$2x - a - 5 = 0$.
(1)若该方程的解满足$x≤2$，求$a$的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式$1 - \frac{x + 6}{2} ＜ \frac{2x + 1}{3}$的负整数解，求$a$的值.
(1)若该方程的解满足$x≤2$，求$a$的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式$1 - \frac{x + 6}{2} ＜ \frac{2x + 1}{3}$的负整数解，求$a$的值.
答案
16. (1)$a≤-1$ (2)$a=-7$
解析
【分析】
(1) 先求解关于x的一元一次方程，将x用含a的代数式表示，再结合x≤2的条件建立关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围；
(2) 先解出题干给出的一元一次不等式，找到它的负整数解，该负整数解就是方程的解，将其代入原方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 解方程$2x - a - 5 = 0$：
移项得：$2x = a + 5$，
系数化为1得：$x = \frac{a + 5}{2}$，
∵ 方程的解满足$x ≤ 2$，
∴ $\frac{a + 5}{2} ≤ 2$，
两边同乘2得：$a + 5 ≤ 4$，
移项计算得：$a ≤ -1$。
(2) 解不等式$1 - \frac{x + 6}{2} ＜ \frac{2x + 1}{3}$：
去分母（两边同乘6）得：$6 - 3(x + 6) ＜ 2(2x + 1)$，
去括号得：$6 - 3x - 18 ＜ 4x + 2$，
移项得：$-3x - 4x ＜ 2 + 18 - 6$，
合并同类项得：$-7x ＜ 14$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -2$，
∴ 该不等式的负整数解为$x = -1$，
将$x = -1$代入方程$2x - a - 5 = 0$得：
$2×(-1) - a - 5 = 0$，
计算整理得：$a = -7$。
【答案】
(1)$a≤-1$；(2)$a=-7$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，解题核心是掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法，注意解不等式两边同乘或除以负数时不等号方向要改变，求整数解时要符合题目的限定条件。
【难度系数】
0.7
(1) 先求解关于x的一元一次方程，将x用含a的代数式表示，再结合x≤2的条件建立关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围；
(2) 先解出题干给出的一元一次不等式，找到它的负整数解，该负整数解就是方程的解，将其代入原方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 解方程$2x - a - 5 = 0$：
移项得：$2x = a + 5$，
系数化为1得：$x = \frac{a + 5}{2}$，
∵ 方程的解满足$x ≤ 2$，
∴ $\frac{a + 5}{2} ≤ 2$，
两边同乘2得：$a + 5 ≤ 4$，
移项计算得：$a ≤ -1$。
(2) 解不等式$1 - \frac{x + 6}{2} ＜ \frac{2x + 1}{3}$：
去分母（两边同乘6）得：$6 - 3(x + 6) ＜ 2(2x + 1)$，
去括号得：$6 - 3x - 18 ＜ 4x + 2$，
移项得：$-3x - 4x ＜ 2 + 18 - 6$，
合并同类项得：$-7x ＜ 14$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＞ -2$，
∴ 该不等式的负整数解为$x = -1$，
将$x = -1$代入方程$2x - a - 5 = 0$得：
$2×(-1) - a - 5 = 0$，
计算整理得：$a = -7$。
【答案】
(1)$a≤-1$；(2)$a=-7$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，解题核心是掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法，注意解不等式两边同乘或除以负数时不等号方向要改变，求整数解时要符合题目的限定条件。
【难度系数】
0.7
