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9. 如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点$A(2,m),B(n,3)$,那么一定有 (
A.$m＞0,n＞0$
B.$m＞0,n＜0$
C.$m＜0,n＞0$
D.$m＜0,n＜0$
D
)A.$m＞0,n＞0$
B.$m＞0,n＜0$
C.$m＜0,n＞0$
D.$m＜0,n＜0$
答案
9.D 当m＞0,n＞0时,A(2,m)与B(n,3)均在第一象限,不符合经过不同象限的两点,选项A不正确.当m＞0,n＜0时,A(2,m)在第一象限,B(n,3)在第二象限,不存在正比例函数的图象同时经过第一、二象限,选项B不正确.当m＜0,n＞0时,A(2,m)在第四象限,B(n,3)在第一象限,不存在正比例函数的图象同时经过第一、四象限,选项C不正确.当m＜0,n＜0时,A(2,m)在第四象限,B(n,3)在第二象限,则正比例函数的图象经过第二、四象限,选项D正确.
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是过原点的直线，要么同时经过第一、三象限（$k＞0$，图象上点的横、纵坐标同号），要么同时经过第二、四象限（$k＜0$，图象上点的横、纵坐标异号），不会同时经过相邻象限。结合题目中两点在不同象限的条件，我们可以先判断每个选项中两点所在的象限，再结合正比例函数的图象特征逐一排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
结合正比例函数的性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：若$m＞0,n＞0$，则点$A(2,m)$横、纵坐标均为正，在第一象限；点$B(n,3)$横、纵坐标也均为正，也在第一象限，两点在同一象限，不符合题意，排除A。
2. 分析选项B：若$m＞0,n＜0$，则点$A(2,m)$在第一象限，点$B(n,3)$横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限，正比例函数的图象不可能同时经过第一、二象限，排除B。
3. 分析选项C：若$m＜0,n＞0$，则点$A(2,m)$横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限，点$B(n,3)$在第一象限，正比例函数的图象不可能同时经过第一、四象限，排除C。
4. 分析选项D：若$m＜0,n＜0$，则点$A(2,m)$在第四象限，点$B(n,3)$在第二象限，当正比例函数的$k＜0$时，图象恰好经过第二、四象限，符合题意，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题，解题核心是明确正比例函数图象仅能经过两个对顶象限的特征，通过排除法可快速解题，是正比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是过原点的直线，要么同时经过第一、三象限（$k＞0$，图象上点的横、纵坐标同号），要么同时经过第二、四象限（$k＜0$，图象上点的横、纵坐标异号），不会同时经过相邻象限。结合题目中两点在不同象限的条件，我们可以先判断每个选项中两点所在的象限，再结合正比例函数的图象特征逐一排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
结合正比例函数的性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：若$m＞0,n＞0$，则点$A(2,m)$横、纵坐标均为正，在第一象限；点$B(n,3)$横、纵坐标也均为正，也在第一象限，两点在同一象限，不符合题意，排除A。
2. 分析选项B：若$m＞0,n＜0$，则点$A(2,m)$在第一象限，点$B(n,3)$横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限，正比例函数的图象不可能同时经过第一、二象限，排除B。
3. 分析选项C：若$m＜0,n＞0$，则点$A(2,m)$横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限，点$B(n,3)$在第一象限，正比例函数的图象不可能同时经过第一、四象限，排除C。
4. 分析选项D：若$m＜0,n＜0$，则点$A(2,m)$在第四象限，点$B(n,3)$在第二象限，当正比例函数的$k＜0$时，图象恰好经过第二、四象限，符合题意，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题，解题核心是明确正比例函数图象仅能经过两个对顶象限的特征，通过排除法可快速解题，是正比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
10. 正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过点$(-1,2)$，并且点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$也在该正比例函数图象上，若$x_1 - x_2 = 3$，则$y_1 - y_2$的值为（
A.3
B.-3
C.6
D.-6
D
）A.3
B.-3
C.6
D.-6
答案
10.D
∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(-1,2),
∴2=-k,即k=-2,
∴该正比例函数的表达式为y=-2x.又
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$也在该正比例函数的图象上,
∴$y_1=-2x_1$①,$y_2=-2x_2$②. ①-②,得$y_1-y_2=-2(x_1-x_2)=-2×3=-6$.
∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(-1,2),
∴2=-k,即k=-2,
∴该正比例函数的表达式为y=-2x.又
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$也在该正比例函数的图象上,
∴$y_1=-2x_1$①,$y_2=-2x_2$②. ①-②,得$y_1-y_2=-2(x_1-x_2)=-2×3=-6$.
解析
【分析】
解题时首先明确思路：第一步先求正比例函数的解析式，正比例函数仅含一个未知参数k，代入已知点的坐标即可求出k，确定函数表达式；第二步，因为A、B两点都在函数图象上，所以两点坐标均满足函数解析式，将y₁、y₂分别用含x₁、x₂的式子表示，再将两式作差，即可得到y₁-y₂与已知条件x₁-x₂的关系，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过点$(-1,2)$，
∴将$x=-1,y=2$代入解析式得：$2=-k$，解得$k=-2$，
∴该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
又
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$也在该正比例函数的图象上，
∴$y_1=-2x_1$①，$y_2=-2x_2$②。
用①式减去②式可得：$y_1-y_2=-2x_1 - (-2x_2) = -2(x_1-x_2)$，
将$x_1 - x_2 = 3$代入上式得：$y_1 - y_2 = -2×3 = -6$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数解析式
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于正比例函数的基础考察题，解题关键是先求出比例系数k确定函数解析式，再利用图象上点的坐标满足解析式的性质建立y的差值与x的差值的关系，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确思路：第一步先求正比例函数的解析式，正比例函数仅含一个未知参数k，代入已知点的坐标即可求出k，确定函数表达式；第二步，因为A、B两点都在函数图象上，所以两点坐标均满足函数解析式，将y₁、y₂分别用含x₁、x₂的式子表示，再将两式作差，即可得到y₁-y₂与已知条件x₁-x₂的关系，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过点$(-1,2)$，
∴将$x=-1,y=2$代入解析式得：$2=-k$，解得$k=-2$，
∴该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
又
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$也在该正比例函数的图象上，
∴$y_1=-2x_1$①，$y_2=-2x_2$②。
用①式减去②式可得：$y_1-y_2=-2x_1 - (-2x_2) = -2(x_1-x_2)$，
将$x_1 - x_2 = 3$代入上式得：$y_1 - y_2 = -2×3 = -6$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数解析式
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于正比例函数的基础考察题，解题关键是先求出比例系数k确定函数解析式，再利用图象上点的坐标满足解析式的性质建立y的差值与x的差值的关系，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
11. 易错题 在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点分别为A(2,4),B(-1,1).若正比例函数$y=mx(m≠0)$的图象与线段AB有公共点,则m的取值范围是
$m≤-1$或$m≥2$
.答案
11.$m≤-1$或$m≥2$ 当直线y=mx经过点A(2,4)时,2m=4,解得m=2.当直线y=mx经过点B(-1,1)时,-m=1,解得m=-1.如图,当正比例函数y=mx(m≠0)的图象与线段AB有公共点时,m≤-1或m≥2.
解析
【分析】
正比例函数$y=mx$的图象是过原点的直线，要使它和线段AB有公共点，首先找到临界状态：直线恰好经过线段的两个端点A、B，先计算出这两种情况对应的m值，再结合正比例函数图象的倾斜规律，就能判断出符合要求的m的取值范围。
【解析】
解：当正比例函数$y=mx$的图象经过点$A(2,4)$时，将A点坐标代入解析式可得：
$2m=4$，解得$m=2$；
当正比例函数$y=mx$的图象经过点$B(-1,1)$时，将B点坐标代入解析式可得：
$-m=1$，解得$m=-1$。
结合图象分析：当$m≥2$时，正比例函数图象向上倾斜的程度更大，会与线段AB有公共点；当$m≤-1$时，正比例函数图象向下倾斜的程度更大，也会与线段AB有公共点。
因此m的取值范围是$m≤-1$或$m≥2$。
【答案】
$m≤-1$或$m≥2$
【知识点】
正比例函数的性质；待定系数法；函数交点判断
【点评】
本题是正比例函数的易错题，解题关键是先求出直线经过线段端点的临界m值，再结合图象的倾斜规律确定取值范围，解题时要注意结合图象分析，避免错写不等号方向。
【难度系数】
0.6
正比例函数$y=mx$的图象是过原点的直线，要使它和线段AB有公共点，首先找到临界状态：直线恰好经过线段的两个端点A、B，先计算出这两种情况对应的m值，再结合正比例函数图象的倾斜规律，就能判断出符合要求的m的取值范围。
【解析】
解：当正比例函数$y=mx$的图象经过点$A(2,4)$时，将A点坐标代入解析式可得：
$2m=4$，解得$m=2$；
当正比例函数$y=mx$的图象经过点$B(-1,1)$时，将B点坐标代入解析式可得：
$-m=1$，解得$m=-1$。
结合图象分析：当$m≥2$时，正比例函数图象向上倾斜的程度更大，会与线段AB有公共点；当$m≤-1$时，正比例函数图象向下倾斜的程度更大，也会与线段AB有公共点。
因此m的取值范围是$m≤-1$或$m≥2$。
【答案】
$m≤-1$或$m≥2$
【知识点】
正比例函数的性质；待定系数法；函数交点判断
【点评】
本题是正比例函数的易错题，解题关键是先求出直线经过线段端点的临界m值，再结合图象的倾斜规律确定取值范围，解题时要注意结合图象分析，避免错写不等号方向。
【难度系数】
0.6
12. 已知正比例函数 $ y = kx (k ＜ 0) $，当 $ 1 ≤ x ≤ 3 $ 时，函数 $ y $ 的最大值和最小值之差为4，则 $ k = $
-2
答案
12.-2
∵正比例函数y=kx(k＜0),
∴y随x的增大而减小.
∵当x=1时,y=k,当x=3时,y=3k,且当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,
∴k-3k=4,解得k=-2.
∵正比例函数y=kx(k＜0),
∴y随x的增大而减小.
∵当x=1时,y=k,当x=3时,y=3k,且当1≤x≤3时,函数y的最大值和最小值之差为4,
∴k-3k=4,解得k=-2.
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的增减性规律：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。本题已知k＜0，可判断函数在1≤x≤3范围内单调递减，因此x取最小值1时y取得最大值，x取最大值3时y取得最小值，再结合最大值与最小值的差为4建立方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx(k＜0)$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∴当$1≤x≤3$时，$x=1$时函数取最大值，$x=3$时函数取最小值。
当$x=1$时，$y=k$；当$x=3$时，$y=3k$。
∵函数y的最大值和最小值之差为4，
∴$k-3k=4$，
合并同类项得：$-2k=4$，
解得：$k=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
正比例函数的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于正比例函数性质的基础应用类题目，解题核心是根据k的符号准确判断函数的增减性，找到对应取值区间内的最大、最小值，结合已知条件列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正比例函数的增减性规律：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。本题已知k＜0，可判断函数在1≤x≤3范围内单调递减，因此x取最小值1时y取得最大值，x取最大值3时y取得最小值，再结合最大值与最小值的差为4建立方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx(k＜0)$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∴当$1≤x≤3$时，$x=1$时函数取最大值，$x=3$时函数取最小值。
当$x=1$时，$y=k$；当$x=3$时，$y=3k$。
∵函数y的最大值和最小值之差为4，
∴$k-3k=4$，
合并同类项得：$-2k=4$，
解得：$k=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
正比例函数的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于正比例函数性质的基础应用类题目，解题核心是根据k的符号准确判断函数的增减性，找到对应取值区间内的最大、最小值，结合已知条件列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
13. 在平面直角坐标系中,点$A(3,m)$在正比例函数$y=\frac{7}{3}x$的图象上,点$B(1,0)$和点$C$都在$x$轴上,当$△ ABC$的面积是$17.5$时,求点$C$的坐标.
答案
13.解:
∵A(3,m)在正比例函数$y=\frac{7}{3}x$的图象上,
∴$m=\frac{7}{3}×3=7$,
∴A(3,7).
设点C的坐标为(a,0).
∵B(1,0),
∴BC=|a-1|,
∴$\frac{1}{2}×7×|a-1|=17.5$,解得a=-4或a=6,
∴点C的坐标是(-4,0)或(6,0).
∵A(3,m)在正比例函数$y=\frac{7}{3}x$的图象上,
∴$m=\frac{7}{3}×3=7$,
∴A(3,7).
设点C的坐标为(a,0).
∵B(1,0),
∴BC=|a-1|,
∴$\frac{1}{2}×7×|a-1|=17.5$,解得a=-4或a=6,
∴点C的坐标是(-4,0)或(6,0).
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先求点A的坐标：已知点A在正比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，即可求出纵坐标m，得到A的完整坐标；②分析△ABC的底和高：因为点B、C都在x轴上，所以BC为三角形的底，底边上的高就是点A到x轴的距离，即A点的纵坐标值；③列方程求解：设点C坐标为(a,0)，用横坐标差的绝对值表示BC的长度，结合三角形面积公式列含绝对值的方程，解方程即可得到a的两个取值，对应点C的两个坐标，注意不要漏解。
【解析】
∵点A(3,m)在正比例函数$y=\frac{7}{3}x$的图象上，
∴将x=3代入解析式得：$m=\frac{7}{3}×3=7$，即A(3,7)。
设点C的坐标为(a,0)，
∵点B坐标为(1,0)，B、C都在x轴上，
∴BC的长度为$|a-1|$，△ABC中BC边上的高为A到x轴的距离，即7。
根据三角形面积为17.5，列方程：
$\frac{1}{2}×7×|a-1|=17.5$
化简得：$|a-1|=5$
即$a-1=5$或$a-1=-5$，解得a=6或a=-4。
【答案】
(-4,0)或(6,0)
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；坐标轴上两点距离计算；三角形面积公式
【点评】
本题是正比例函数与几何面积的基础综合题，解题关键是先确定点A的坐标，再利用x轴上点的坐标特点表示出底边长，需注意绝对值方程对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先求点A的坐标：已知点A在正比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，即可求出纵坐标m，得到A的完整坐标；②分析△ABC的底和高：因为点B、C都在x轴上，所以BC为三角形的底，底边上的高就是点A到x轴的距离，即A点的纵坐标值；③列方程求解：设点C坐标为(a,0)，用横坐标差的绝对值表示BC的长度，结合三角形面积公式列含绝对值的方程，解方程即可得到a的两个取值，对应点C的两个坐标，注意不要漏解。
【解析】
∵点A(3,m)在正比例函数$y=\frac{7}{3}x$的图象上，
∴将x=3代入解析式得：$m=\frac{7}{3}×3=7$，即A(3,7)。
设点C的坐标为(a,0)，
∵点B坐标为(1,0)，B、C都在x轴上，
∴BC的长度为$|a-1|$，△ABC中BC边上的高为A到x轴的距离，即7。
根据三角形面积为17.5，列方程：
$\frac{1}{2}×7×|a-1|=17.5$
化简得：$|a-1|=5$
即$a-1=5$或$a-1=-5$，解得a=6或a=-4。
【答案】
(-4,0)或(6,0)
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；坐标轴上两点距离计算；三角形面积公式
【点评】
本题是正比例函数与几何面积的基础综合题，解题关键是先确定点A的坐标，再利用x轴上点的坐标特点表示出底边长，需注意绝对值方程对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 几何直观 小明根据学习函数的经验，对函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程.
(1)函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的自变量$x$的取值范围是
(2)下表是$y$与$x$的几组对应值：
写出表中$m$的值：
(3)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，画出该函数的图象；
(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，若$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，则$y_1$
②当$x ＞ 0$时，若对于$x$的每一个值，函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的值均小于正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的值，则$k$的取值范围是
(1)函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的自变量$x$的取值范围是
任意实数
；(2)下表是$y$与$x$的几组对应值：
写出表中$m$的值：
0
；(3)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，画出该函数的图象；
(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，若$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，则$y_1$
＜
$y_2$（填“＞”“=”或“＜”）；②当$x ＞ 0$时，若对于$x$的每一个值，函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的值均小于正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的值，则$k$的取值范围是
$k＞\frac{3}{2}$
.答案
14.解:(1)任意实数
(2)0
当x=0时,$y=\frac{1}{2}x + |x|=0$,
∴m=0.
(3)描点,画出函数图象如图所示:
(4)①＜
观察该函数图象可知,当x＞0时,y随x的增大而增大,
∴对于图象上两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,若$0＜x_1＜x_2$,则$y_1＜y_2$.
②$k＞\frac{3}{2}$
当x＞0时,$y=\frac{1}{2}x + |x|=\frac{3}{2}x$.
∵对于x的每一个值,函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的值均小于正比例函数y=kx(k≠0)的值,
∴函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的图象在正比例函数y=kx(k≠0)图象的下方,
∴$k＞\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：判断函数自变量取值范围时，观察函数表达式，不存在分式、二次根式等对自变量有约束的结构，因此x可取任意实数；
2. 第(2)问：求m的值即求x=0时的函数值，直接将x=0代入函数表达式计算即可；
3. 第(3)问：画函数图像前先通过分类讨论去绝对值：当x≥0时，|x|=x，函数化简为$y=\frac{3}{2}x$；当x＜0时，|x|=-x，函数化简为$y=-\frac{1}{2}x$，再结合已知点描点连线即可得到完整图像；
4. 第(4)①问：x＞0时函数为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$，比例系数大于0，因此y随x的增大而增大，结合$0＜x_1＜x_2$即可判断y₁和y₂的大小关系；
5. 第(4)②问：x＞0时函数为$y=\frac{3}{2}x$，要使该函数值恒小于y=kx的值，即对所有x＞0都满足$kx＞\frac{3}{2}x$，x为正数时两边同时除以x不等号方向不变，即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的表达式中无限制自变量取值的结构，因此自变量x的取值范围是任意实数；
(2) 将x=0代入函数表达式，得$y=\frac{1}{2}×0 + |0|=0$，因此m=0；
(3) 先分类化简函数：当x≥0时，$y=\frac{1}{2}x + x=\frac{3}{2}x$；当x＜0时，$y=\frac{1}{2}x - x=-\frac{1}{2}x$，结合对应点描点后分别连接两段射线，得到函数图象：
(4) ① 当x＞0时，函数为$y=\frac{3}{2}x$，比例系数$\frac{3}{2}＞0$，y随x的增大而增大，因此当$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＜y_2$；
② 当x＞0时，$y=\frac{1}{2}x + |x|=\frac{3}{2}x$，要使对任意x＞0都有$\frac{3}{2}x ＜ kx$，因为x＞0，两边同时除以x可得$k＞\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)任意实数
(2)0
(3)描点,画出函数图象如图所示:
(4)①＜
②$k＞\frac{3}{2}$
【知识点】
绝对值的化简，正比例函数的性质，函数自变量取值范围
【点评】
本题综合考察了含绝对值函数的图象与性质，需要运用分类讨论思想去绝对值后，结合正比例函数的增减性、图象位置关系求解，注重对几何直观能力和数学思想的考察。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：判断函数自变量取值范围时，观察函数表达式，不存在分式、二次根式等对自变量有约束的结构，因此x可取任意实数；
2. 第(2)问：求m的值即求x=0时的函数值，直接将x=0代入函数表达式计算即可；
3. 第(3)问：画函数图像前先通过分类讨论去绝对值：当x≥0时，|x|=x，函数化简为$y=\frac{3}{2}x$；当x＜0时，|x|=-x，函数化简为$y=-\frac{1}{2}x$，再结合已知点描点连线即可得到完整图像；
4. 第(4)①问：x＞0时函数为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$，比例系数大于0，因此y随x的增大而增大，结合$0＜x_1＜x_2$即可判断y₁和y₂的大小关系；
5. 第(4)②问：x＞0时函数为$y=\frac{3}{2}x$，要使该函数值恒小于y=kx的值，即对所有x＞0都满足$kx＞\frac{3}{2}x$，x为正数时两边同时除以x不等号方向不变，即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x + |x|$的表达式中无限制自变量取值的结构，因此自变量x的取值范围是任意实数；
(2) 将x=0代入函数表达式，得$y=\frac{1}{2}×0 + |0|=0$，因此m=0；
(3) 先分类化简函数：当x≥0时，$y=\frac{1}{2}x + x=\frac{3}{2}x$；当x＜0时，$y=\frac{1}{2}x - x=-\frac{1}{2}x$，结合对应点描点后分别连接两段射线，得到函数图象：
(4) ① 当x＞0时，函数为$y=\frac{3}{2}x$，比例系数$\frac{3}{2}＞0$，y随x的增大而增大，因此当$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＜y_2$；
② 当x＞0时，$y=\frac{1}{2}x + |x|=\frac{3}{2}x$，要使对任意x＞0都有$\frac{3}{2}x ＜ kx$，因为x＞0，两边同时除以x可得$k＞\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)任意实数
(2)0
(3)描点,画出函数图象如图所示:
(4)①＜
②$k＞\frac{3}{2}$
【知识点】
绝对值的化简，正比例函数的性质，函数自变量取值范围
【点评】
本题综合考察了含绝对值函数的图象与性质，需要运用分类讨论思想去绝对值后，结合正比例函数的增减性、图象位置关系求解，注重对几何直观能力和数学思想的考察。
【难度系数】
0.65
