1. 如图，PA，PB与$\odot O$分别相切于点A，B，PA=2，$∠ P=60°$，则AB的值为 （）

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.3

1. B

【分析】
解题思路如下：第一步，根据PA、PB是圆的切线，回忆切线长定理，可得出PA与PB相等，得到△PAB是等腰三角形；第二步，结合已知∠P=60°，依据等边三角形的判定定理，可判断△PAB为等边三角形；第三步，利用等边三角形三边相等的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
根据切线长定理，可得PA=PB，
已知PA=2，
∴PB=PA=2，
又
∵∠P=60°，
∴△PAB是有一个内角为60°的等腰三角形，即△PAB为等边三角形，
∴AB=PA=2。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，将切线的性质与特殊三角形的判定相结合，只要熟练掌握相关定理，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$△ ABC$是一张周长为$17\ \mathrm{cm}$的三角形的纸片，$BC=5\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$与$\odot O$都相切，小明准备用剪刀在$\odot O$的右侧沿着与$\odot O$相切的任意一条直线$MN$剪下$△ AMN$，则剪下的三角形的周长为（）

A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$7\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.随直线$MN$的变化而变化

2. B

【分析】
本题出现三角形内切圆和多条圆的切线，优先运用切线长定理解题。第一步先根据△ABC的总周长和BC的边长，求出AB与AC的长度和；第二步利用切线长相等的性质，将AB、AC上靠近B、C的切线段长度和转化为BC的长度，进而求出点A到AB、AC边上切点的线段长度之和；第三步结合MN也是圆的切线，再次利用切线长相等，将△AMN的周长转化为上述点A到两切点的线段和，即可得到结果。
【解析】
设⊙O与AB边的切点为D，与AC边的切点为E，与BC边的切点为F，与直线MN的切点为P。
根据切线长定理可得：$BD=BF$，$CE=CF$，$MD=MP$，$NE=NP$，$AD=AE$。
已知$△ ABC$的周长为$17\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，因此$AB+AC=17-BC=17-5=12\ \mathrm{cm}$。
又因为$BD+CE=BF+CF=BC=5\ \mathrm{cm}$，所以$AD+AE=(AB-BD)+(AC-CE)=AB+AC-(BD+CE)=12-5=7\ \mathrm{cm}$。
$△ AMN$的周长$=AM+MN+AN=AM+MP+PN+AN$，将$MP=MD$、$PN=NE$代入得：
$△ AMN$的周长$=AM+MD+AN+NE=AD+AE=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题解题的核心是利用切线长相等的性质对所求周长进行等量转化，无需考虑MN的具体位置即可求出固定的周长值，是切线长定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

3. (2024·南京)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E.若AB=15,BC=17,则AD的长为 ()

A.8
B.8.5
C.$5\sqrt{3}$
D.9

3. D

【分析】
解题思路如下：第一步，先利用切线的性质，结合AD//BC推出AB垂直BC，构造出矩形；第二步，连接BE，由切线性质得BE垂直CD，在Rt△BEC中用勾股定理求出CE的长度；第三步，根据切线长定理得到AD=DE，设AD的长为x，用含x的式子表示CD和GC的长度；第四步，在Rt△DGC中利用勾股定理列方程求解即可得到AD的长度。
【解析】
解：连接BE，过点D作DG⊥BC于点G。
∵AD与扇形BAF相切于点A，AB为扇形的半径，
∴AB⊥AD，
又
∵AD//BC，
∴AB⊥BC，即∠A=∠ABG=∠DGB=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴AD=BG，DG=AB=15。
∵CD与扇形BAF相切于点E，BE为扇形的半径，
∴BE⊥CD，根据切线长定理可得AD=DE。
在Rt△BEC中，BE=AB=15，BC=17，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$。
设AD=x，则DE=x，$CD=DE+CE=x+8$，$GC=BC-BG=17-x$。
在Rt△DGC中，由勾股定理得：
$CD^2=DG^2+GC^2$，
即$(x+8)^2=15^2+(17-x)^2$，
展开得：$x^2+16x+64=225+289-34x+x^2$，
移项合并同类项得：$50x=450$，
解得$x=9$，即AD=9。
【答案】D
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是切线性质与几何计算的综合题，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，结合方程思想求解线段长，是圆的综合题中常见的考查形式，熟练掌握切线相关性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6

4. (2025·黑龙江)如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P=.

4. 70°

【分析】
解题思路如下：第一步，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得PA垂直于直径AC，先求出∠PAB的度数；第二步，根据切线长定理，可知PA=PB，即△PAB为等腰三角形，两个底角∠PAB和∠PBA相等；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90°-35°=55°，
又
∵PA、PB都是⊙O的切线，A、B为切点，
∴根据切线长定理得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，由三角形内角和为180°得：
∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
切线的性质；切线长定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，将圆的性质和三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练运用切线的相关性质找到角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8

5. 如图，四边形ABCD的各边与$\odot O$都相切，切点分别是E，F，G，H.
（1）请探索四边形ABCD四边AB，BC，CD，AD之间的关系；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD一定是；
（3）若四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD一定是；
（4）若AB：BC：CD＝1：3：4，且四边形ABCD的周长为20 cm，则AD＝cm.

5. (1) $\because$ 四边形$ABCD$各边与$\odot O$都相切,切点分别是E,F,G,H,$\therefore AH=AE$，$BE=BF,CF=CG,DG=DH$,$\therefore AH+DH+CF+BF=DG+CG+AE+BE$,即$AD+BC=AB+DC$；
(2) 菱形
(3) 正方形
(4) 4

【分析】
（1）探索四边关系时，先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，因此可将四边形的四条边分别拆分为两段等长的切线，将对边分别相加即可得到等量关系；
（2）已知平行四边形对边相等，结合圆外切四边形对边和相等的性质，可推导得邻边相等，即可判定四边形类型；
（3）矩形是特殊的平行四边形，结合第二问的结论，既是矩形又是邻边相等的平行四边形，即可得到对应的特殊四边形；
（4）利用圆外切四边形对边和相等的性质，可知周长等于两组对边和的2倍，先求出AB+CD的长度，再结合已知边长比例求出各段长度，进而计算AD的长。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD各边与$\odot O$都相切，切点分别是E,F,G,H，根据切线长定理可得：
$AH=AE$，$BE=BF$，$CF=CG$，$DG=DH$，
将等式左右分别相加得：$AH+DH+CF+BF = DG+CG+AE+BE$，
整理得：$AD + BC = AB + DC$；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，则$AD=BC$，$AB=DC$，结合（1）的结论$AD+BC=AB+DC$，可得$2AD=2AB$，即$AD=AB$，邻边相等的平行四边形是菱形；
（3）若四边形ABCD是矩形，则它首先是平行四边形，由（2）可知它是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
（4）由（1）可知$AD + BC = AB + DC$，四边形周长为20 cm，因此$AB+DC=AD+BC=20÷2=10\ \mathrm{cm}$，
已知$AB:BC:CD＝1:3:4$，设$AB=x$，$BC=3x$，$CD=4x$，
则$AB+CD=x+4x=5x=10\ \mathrm{cm}$，解得$x=2\ \mathrm{cm}$，
因此$BC=3x=6\ \mathrm{cm}$，$AD=10 - BC=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$AD+BC=AB+CD$；（2）菱形；（3）正方形；（4）4
【知识点】
切线长定理；圆外切四边形性质；特殊四边形判定
【点评】
本题围绕圆外切四边形的性质展开，结合特殊四边形的判定和比例计算，解题核心是熟练掌握切线长定理推导得到的圆外切四边形对边和相等的结论，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7

6. 如图，$∠ APB=52°$，$PA$，$PB$，$DE$都为$\odot O$的切线，切点分别为$A$，$B$，$F$，且$PA=6$.求：
（1）$△ PDE$的周长；
（2）$∠ DOE$的度数.

6. (1) $\because PA,PB,DE$都为$\odot O$的切线,$\therefore DA=DF,EB=EF,PA=PB=6$,$\therefore DE=DA+EB$,$\therefore PE+PD+DE=PA+PB=12$,即$△ PDE$的周长为12；
(2) 如图,连接$OF$,$\because PA,PB,DE$分别切$\odot O$于$A,B,F$三点,$\therefore OB ⊥ PB,OA ⊥ PA, ∠ BOE = ∠ FOE = \frac{1}{2}∠ BOF, ∠ FOD = ∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOF$.
$\because ∠ APB=52°, \therefore ∠ AOB=360°-90°-90°-52°=128°, \therefore ∠ DOE = ∠ FOE + ∠ FOD = \frac{1}{2} (∠ BOF + ∠ AOF) = \frac{1}{2}∠ AOB=64°$.

【分析】
（1）求△PDE的周长时，可运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。由此可得DA=DF、EB=EF、PA=PB，将△PDE的周长拆分后做等量转化，即可结合已知PA的长度求出周长。
（2）求∠DOE的度数时，先连接辅助线OF，根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，得到OA⊥PA、OB⊥PB；再由切线长定理可推出OD平分∠AOF，OE平分∠BOF，因此∠DOE等于∠AOB的一半；最后在四边形OAPB中利用内角和为360°求出∠AOB的度数，即可计算得到∠DOE的度数。
【解析】
（1）
∵PA、PB、DE都是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，
根据切线长定理可得：$DA=DF$，$EB=EF$，$PA=PB=6$，
∴$DE=DF+EF=DA+EB$，
∴$△ PDE$的周长$=PD+PE+DE=PD+PE+DA+EB=(PD+DA)+(PE+EB)=PA+PB=6+6=12$。
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
根据切线的性质可得：$OB⊥PB$，$OA⊥PA$，
结合切线长定理可得：$∠BOE=∠FOE=\frac{1}{2}∠BOF$，$∠FOD=∠AOD=\frac{1}{2}∠AOF$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠APB=52°$，
∴$∠AOB=360°-90°-90°-52°=128°$，
∴$∠DOE=∠FOE+∠FOD=\frac{1}{2}(∠BOF+∠AOF)=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×128°=64°$。
【答案】
(1) $△ PDE$的周长为$12$；
(2) 如图，$∠ DOE$的度数为$64°$。
【知识点】
切线长定理；切线的性质；四边形内角和
【点评】
本题是圆的切线相关的基础考题，解题的关键是熟练运用切线长定理完成线段和角的等量转化，构造辅助线OF是求解第二问的突破口，掌握切线的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7