登录
【典例1】如图，直线$ l // AB $，点$ C $在直线$ l $上，$ AB=5 $ m，$ AB $与直线$ l $的距离为6 m，当$ ∠ ACB $最大时，则$ AC= $
6.5
m.答案
解:作AB的垂直平分线交直线l于点M,作△ABM的外接圆,AM为所求,
∵∠AMB=∠ANB＞∠ACB,
此时,AM=$\sqrt{(\dfrac{5}{2})^2+6^2}=6.5$.
【典例2】如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角.若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，DC的长度为(
A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{15}$
C
)A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{15}$
答案
解:⊙O为△ABC的外接圆,当DE为⊙O的切线时,∠ACB的角度最大(弧所对的角中,圆周角大于圆外角,即∠ACB＞∠AHB),过点O作OF⊥AB,垂足为点F,则AF=BF,
∵AB=4,BD=1,
∴AF=2,DF=3,
∵DE与⊙O相切,
∴OC⊥DE,
又OF⊥AD,∠D=90°,
∴四边形OCDF为矩形,
∴OC=DF=OA,OF=CD,
∵OF=$\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$,
∴CD=$\sqrt{5}$.
变式.如图,在平面直角坐标系内,已知点A(1,0),B(5,0),C(0,t).当t＞0时,若∠ACB最大,则t的值为(
A.$2\sqrt{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{3}{2}$
C
)A.$2\sqrt{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
C
【典例3】如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是
$20\sqrt{3}$
米.答案
解:如图,取MN的中点F,过点F作FE⊥OB于点E,以直径MN作⊙F,
∵MN=2OM=40 m,点F是MN的中点,
∴MF=FN=20 m,OF=40 m,
∵∠AOB=30°,EF⊥OB,
∴EF=20 m,OE=$\sqrt{3}$EF=$20\sqrt{3}$ m,
∴EF=MF,
又
∵EF⊥OB,
∴OB是⊙F的切线,切点为E,
∴当点P与点E重合时,观景视角∠MPN最大,此时OP=$20\sqrt{3}$ m.
