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【典例1】如图1，△ABC内接于⊙O，若∠BAD=42°，点D在弦BC上，画出一个含48°角的直角三角形.
答案
连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，Rt△ADE即为所求的含48°角的直角三角形。
变式1.如图2，点A，B，C均在$\odot O$上，且$∠ BAC=120°$，在优弧BC上画M，N两点，使$∠ MAN=60°$。
答案
连接OB、OC，分别作∠BOM=60°、∠CON=60°，M、N均落在优弧BC上，连接AM、AN，此时∠MAN=60°。
变式2.如图3，△ABC内接于⊙O，点D是AC的中点，试画出∠B的平分线。
答案
连接OD并延长交⊙O于点E，连接BE，BE即为∠ABC的平分线。
【典例2】如图4，弦AB//弦CD，作出⊙O的直径MN.
答案
连接AC、BD交于点P，连接AD、BC交于点Q，作直线PQ，直线PQ交⊙O于M、N两点，则线段MN即为所求的⊙O的直径。
变式.(2026·郑州)如图，$□ ABCD$的顶点A，B都在$\odot O$上，延长CB交$\odot O$于点E，若EB=BC，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.
(1)在图5中，作与边CD相等的弦EF；
(2)在图6中，作线段BG，使$BG=\frac{1}{2}BF$[F为(1)中弦EF的端点].
(1)在图5中，作与边CD相等的弦EF；
(2)在图6中，作线段BG，使$BG=\frac{1}{2}BF$[F为(1)中弦EF的端点].
答案
(1) 连接平行四边形对角线AC、BD交于点，连接该交点与E并延长交⊙O于点F，EF即为与CD相等的弦。
(2) 连接AE、BD，取BD中点G，所得线段BG即为满足$BG=\frac{1}{2}BF$的线段。
【典例3】如图7，正五边形ABCDE五个顶点在$\odot O$上，过点A作CD的平行线.
变式.如图8，正六边形ABCDEF，作点B关于EF的对称点G.
变式.如图8，正六边形ABCDEF，作点B关于EF的对称点G.
答案
【典例3】
∵AD//BC，连接OB交AC于点H，连接DH交CB的延长线于点P，AH=CH，
∴AD=CP⇒□ADCP⇒AP//CD，AP即为所求的平行线。
变式：连接BF、CE交于点M，连接BE、CF交于点N，作直线MN交FE的延长线于点，连接该点与B并延长交DE的延长线于点G，点G即为点B关于EF的对称点。
