变式：正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，建立平面直角坐标系，使点 $A$ 在第二象限，其余三个顶点的坐标都至少与点 $A$ 的横、纵坐标中的一个坐标互为相反数. 直接写出正方形四个顶点的坐标.

解：A(-2,2)，B(-2,-2)，C(2,-2)，D(2,2)
或 A(-2,2)，B(2,2)，C(2,-2)，D(-2,-2)。

例 2 如图，直线 $BC$ 经过原点 $O$，点 $A$ 在 $x$ 轴上，$AD⊥ BC$，垂足为 $D$. $B(m,2)$，$C(n,-6)$，$A(4,0)$.

(1) 求三角形 $ABC$ 的面积.
(2) 求 $m$ 和 $n$ 的比值.
分析：点 $B$ 的纵坐标确定，横坐标在变化，因此它的运动轨迹是平行于 $x$ 轴的直线. $OA$ 是定线段，所以三角形 $AOB$ 的面积是确定的. 同样的道理，三角形 $AOC$ 的面积也是确定的，因此可以用面积解答第(1)问. 直线 $BC$ 经过原点，可以用不同的方法表示三角形 $ABC$ 的面积，确定 $m$ 和 $n$ 的比值.
解：(1) $S_{\mathrm{三角形}ABC}=S_{\mathrm{三角形}ABO}+S_{\mathrm{三角形}ACO}=\frac{1}{2}× 2× OA+\frac{1}{2}× 6× OA = 16$.
(2) 如右图，分别过点 $A$，$B$ 作 $y$ 轴的平行线，过点 $B$，$C$ 作 $x$ 轴的平行线，它们围成长方形 $BMNP$，

则 $S_{\mathrm{三角形}ABC}=S_{\mathrm{长方形}BMNP}-S_{\mathrm{三角形}BCM}-S_{\mathrm{三角形}ACN}-S_{\mathrm{三角形}ABP}$.
$\therefore 16 = 8(4 - m)-\frac{1}{2}× 8(n - m)-\frac{1}{2}× 6(4 - n)-\frac{1}{2}× 2(4 - m)$.
整理得 $3m + n = 0$，所以 $m:n = -\frac{1}{3}$.
变式：在平面直角坐标系中，已知 $A(-2,m)$，$B(3,n)$. 若直线 $AB$ 经过原点，直接写出 $m$ 和 $n$ 的比值.

解：m : n = -2 : 3.

【解析】
因为直线AB经过原点，所以点A、B在正比例函数图象上，设直线AB的解析式为$y = kx$（$k≠0$）。
将$A(-2,m)$代入解析式得：$m = -2k$；
将$B(3,n)$代入解析式得：$n = 3k$。
则$\frac{m}{n} = \frac{-2k}{3k} = -\frac{2}{3}$，即$m:n = -2:3$。
【答案】
$m:n = -2:3$
【知识点】
正比例函数的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题考查正比例函数的性质与坐标的关系，利用直线过原点得出点的坐标满足正比例函数关系是解题核心，通过设解析式代入坐标可快速推导比值，方法简洁高效。