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19. 在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标为(kx＋y,x＋ky)(其中k为常数且k≠0),则称点B是点A的“k级关联点”.例如,点A(1,4)的“3级关联点”B的坐标为(3×1＋4,1＋3×4),即B(7,13).
(1)点(1,2)的“2级关联点”的坐标为
(2)若点A(2,-1)的“k级关联点”坐标为(9,m),求k＋m的值；
(3)若点M(a－1,2a)的“－4级关联点”N位于坐标轴上,求点N的坐标.
(1)点(1,2)的“2级关联点”的坐标为
(4,5)
；(2)若点A(2,-1)的“k级关联点”坐标为(9,m),求k＋m的值；
2
(3)若点M(a－1,2a)的“－4级关联点”N位于坐标轴上,求点N的坐标.
N($\frac{30}{7}$,0)或N(0,-15)
答案
(1)(4,5)
(2)2
(3)N($\frac{30}{7}$,0)或N(0,-15)
20. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(a,0),点D的坐标为(6,4),平移线段AD得到线段BC,其中,点B的坐标为(0,b),且a,b满足|a－2|＋√(b＋6)= 0,延长BC交x轴于点E.
(1)点A的坐标是
(2)求点C和点E的坐标；
(3)设P是x轴上的一个动点(不与A,E两点重合),且PA＞AE,探究∠APC与∠PCB之间的数量关系.
(1)点A的坐标是
(2,0)
,点B的坐标是(0,-6)
,∠DAE=45
°；(2)求点C和点E的坐标；
提示:由平移的性质,可知点C的坐标为(4,-2),再证OE=OB,得点E的坐标为(6,0)
(3)设P是x轴上的一个动点(不与A,E两点重合),且PA＞AE,探究∠APC与∠PCB之间的数量关系.
∠PCB-∠APC=45°或∠PCB-∠APC=135°
答案
1. （1）
因为$\vert a - 2\vert+\sqrt{b + 6}=0$，又$\vert a - 2\vert\geq0$，$\sqrt{b + 6}\geq0$。
根据非 - 负数的性质：若$m + n=0$（$m=\vert a - 2\vert$，$n = \sqrt{b + 6}$，$m\geq0$，$n\geq0$），则$m = 0$且$n = 0$。
所以$a−2 = 0$，$b + 6 = 0$，解得$a = 2$，$b=-6$。
则点$A$的坐标是$(2,0)$，点$B$的坐标是$(0, - 6)$。
因为平移线段$AD$得到线段$BC$，所以$AD// BC$，$AD = BC$，$\angle DAE=\angle BEO$。
过点$D$作$DF\perp x$轴于点$F$，$A(2,0)$，$D(6,4)$，则$AF=6 - 2 = 4$，$DF = 4$，所以$\triangle ADF$是等腰直角三角形，$\angle DAF = 45^{\circ}$，所以$\angle DAE = 45^{\circ}$。
2. （2）
解：因为平移线段$AD$得到线段$BC$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$。
已知$A(2,0)$，$D(6,4)$，$B(0, - 6)$，设$C(x,y)$，则$\overrightarrow{AD}=(6 - 2,4-0)=(4,4)$，$\overrightarrow{BC}=(x - 0,y + 6)$。
所以$\begin{cases}x-0 = 4\\y + 6 = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y=-2\end{cases}$，所以$C(4,-2)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx + c$，把$B(0, - 6)$，$C(4,-2)$代入$y = kx + c$得$\begin{cases}c=-6\\4k + c=-2\end{cases}$。
把$c=-6$代入$4k + c=-2$得$4k-6=-2$，$4k=4$，解得$k = 1$。
所以直线$BC$的解析式为$y=x - 6$。
令$y = 0$，则$x-6 = 0$，解得$x = 6$，所以$E(6,0)$。
3. （3）
解：过点$P$作$PF// AD$。
因为$AD// BC$，所以$PF// BC$。
设$\angle PCB=\angle FPC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$AD// PF$，$\angle DAE = 45^{\circ}$，$AD// BC$，所以$\angle FPA=\angle DAE = 45^{\circ}$。
当点$P$在$E$的右侧时：
$\angle APC=\angle FPC-\angle FPA$，因为$\angle PCB=\angle FPC$，$\angle FPA = 45^{\circ}$，所以$\angle APC=\angle PCB - 45^{\circ}$。
当点$P$在$x$轴负半轴时：
$\angle APC=\angle FPA+\angle FPC$，因为$\angle PCB=\angle FPC$，$\angle FPA = 45^{\circ}$，所以$\angle APC=\angle PCB + 45^{\circ}$。
综上，（1）$(2,0)$，$(0, - 6)$，$45$；（2）$C(4,-2)$，$E(6,0)$；（3）当点$P$在$E$的右侧时，$\angle APC=\angle PCB - 45^{\circ}$；当点$P$在$x$轴负半轴时，$\angle APC=\angle PCB + 45^{\circ}$。
因为$\vert a - 2\vert+\sqrt{b + 6}=0$，又$\vert a - 2\vert\geq0$，$\sqrt{b + 6}\geq0$。
根据非 - 负数的性质：若$m + n=0$（$m=\vert a - 2\vert$，$n = \sqrt{b + 6}$，$m\geq0$，$n\geq0$），则$m = 0$且$n = 0$。
所以$a−2 = 0$，$b + 6 = 0$，解得$a = 2$，$b=-6$。
则点$A$的坐标是$(2,0)$，点$B$的坐标是$(0, - 6)$。
因为平移线段$AD$得到线段$BC$，所以$AD// BC$，$AD = BC$，$\angle DAE=\angle BEO$。
过点$D$作$DF\perp x$轴于点$F$，$A(2,0)$，$D(6,4)$，则$AF=6 - 2 = 4$，$DF = 4$，所以$\triangle ADF$是等腰直角三角形，$\angle DAF = 45^{\circ}$，所以$\angle DAE = 45^{\circ}$。
2. （2）
解：因为平移线段$AD$得到线段$BC$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$。
已知$A(2,0)$，$D(6,4)$，$B(0, - 6)$，设$C(x,y)$，则$\overrightarrow{AD}=(6 - 2,4-0)=(4,4)$，$\overrightarrow{BC}=(x - 0,y + 6)$。
所以$\begin{cases}x-0 = 4\\y + 6 = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y=-2\end{cases}$，所以$C(4,-2)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx + c$，把$B(0, - 6)$，$C(4,-2)$代入$y = kx + c$得$\begin{cases}c=-6\\4k + c=-2\end{cases}$。
把$c=-6$代入$4k + c=-2$得$4k-6=-2$，$4k=4$，解得$k = 1$。
所以直线$BC$的解析式为$y=x - 6$。
令$y = 0$，则$x-6 = 0$，解得$x = 6$，所以$E(6,0)$。
3. （3）
解：过点$P$作$PF// AD$。
因为$AD// BC$，所以$PF// BC$。
设$\angle PCB=\angle FPC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$AD// PF$，$\angle DAE = 45^{\circ}$，$AD// BC$，所以$\angle FPA=\angle DAE = 45^{\circ}$。
当点$P$在$E$的右侧时：
$\angle APC=\angle FPC-\angle FPA$，因为$\angle PCB=\angle FPC$，$\angle FPA = 45^{\circ}$，所以$\angle APC=\angle PCB - 45^{\circ}$。
当点$P$在$x$轴负半轴时：
$\angle APC=\angle FPA+\angle FPC$，因为$\angle PCB=\angle FPC$，$\angle FPA = 45^{\circ}$，所以$\angle APC=\angle PCB + 45^{\circ}$。
综上，（1）$(2,0)$，$(0, - 6)$，$45$；（2）$C(4,-2)$，$E(6,0)$；（3）当点$P$在$E$的右侧时，$\angle APC=\angle PCB - 45^{\circ}$；当点$P$在$x$轴负半轴时，$\angle APC=\angle PCB + 45^{\circ}$。
