变式训练 多项式$x^2 - 2x + 5$的最小值是()
A.1
B.4
C.6
D.10

B

将多项式$x^2 - 2x + 5$进行配方：
$x^2 - 2x + 5 = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x - 1)^2 + 4$。
由于$(x - 1)^2 \geq 0$，所以$(x - 1)^2 + 4 \geq 4$。
当$x = 1$时，多项式取得最小值4。

1.(2023赤峰)用配方法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$时,配方后正确的是()
A.$(x + 2)^2 = 3$
B.$(x + 2)^2 = 17$
C.$(x - 2)^2 = 5$
D.$(x - 2)^2 = 17$

C

原方程为$x^2 - 4x - 1 = 0$。
移项得$x^2 - 4x = 1$。
配方：两边加$4$，得$x^2 - 4x + 4 = 5$，即$(x - 2)^2 = 5$。

2.(2025凉州区一模)已知一元二次方程$x^2 + 6x + 1 = 0配方后可变形为(x + 3)^2 = k$,则$k$的值为()
A.8
B.7
C.6
D.5

A

原方程为$x^2 + 6x + 1 = 0$，配方时需将常数项移到等号右边，得$x^2 + 6x = -1$。
为配方，左边加一次项系数一半的平方，即加$(6/2)^2 = 9$，同时右边也加9以保持等式成立：
$x^2 + 6x + 9 = -1 + 9$，即$(x + 3)^2 = 8$，故$k = 8$。

3.填空：
(1)$x^2 + 6x +$$= (x +$$)^2$；
(2)$x^2 - \dfrac{1}{4}x +$$= (x -$$)^2$；
(3)$4x^2 + 4x +$$= (2x +$$)^2$。

(1)9；3；(2)$\dfrac{1}{64}$；$\dfrac{1}{8}$；(3)1；1

(1) 一次项系数为6，一半为3，平方为9，故填9和3；
(2) 一次项系数为$-\dfrac{1}{4}$，一半为$-\dfrac{1}{8}$，平方为$\dfrac{1}{64}$，故填$\dfrac{1}{64}$和$\dfrac{1}{8}$；
(3) 把$2x$看作整体，一次项系数为4，$4=2×2x×1$，常数项为$1^2=1$，故填1和1。

4.(常考题)当$m = $时,$x^2 + mx + 36$是一个完全平方式。

±12

因为完全平方公式为$(x\pm a)^2 = x^2 \pm 2ax + a^2$，已知$x^2 + mx + 36$是完全平方式，所以$36 = a^2$，则$a = \pm 6$。当$a = 6$时，$m = 2a = 12$；当$a = -6$时，$m = 2a = -12$，故$m = \pm 12$。

5.用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 6x = 1$；(2)$x^2 + 4x - 12 = 0$；
(3)$2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4)$x^2 + 4x - 9 = 2x - 11$。

(1)
$x^{2}-6x = 1$，
$x^{2}-6x+9 = 1+9$，
$(x - 3)^{2}=10$，
$x - 3=\pm\sqrt{10}$，
$x_{1}=3+\sqrt{10}$，$x_{2}=3 - \sqrt{10}$。
(2)
$x^{2}+4x - 12 = 0$，
$x^{2}+4x=12$，
$x^{2}+4x+4 = 12+4$，
$(x + 2)^{2}=16$，
$x + 2=\pm4$，
$x_{1}=2$，$x_{2}=-6$。
(3)
$2x^{2}-4x - 1 = 0$，
$x^{2}-2x=\frac{1}{2}$，
$x^{2}-2x+1=\frac{1}{2}+1$，
$(x - 1)^{2}=\frac{3}{2}$，
$x - 1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(4)
先将方程$x^{2}+4x - 9 = 2x - 11$化为一般形式：
$x^{2}+4x-2x - 9 + 11 = 0$，
$x^{2}+2x+2 = 0$，
$x^{2}+2x=-2$，
$x^{2}+2x + 1=-2 + 1$，
$(x + 1)^{2}=-1$，
因为$-1\lt0$，所以此方程无实数解。

6.已知等腰$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,其中$a$,$b满足a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$,则$\triangle ABC$的周长是。

15

由$a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$，移项得：$a^2 - 6a + b^2 - 12b = -45$，
配方得：$(a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 12b + 36) = 0$，即$(a - 3)^2 + (b - 6)^2 = 0$，
因为平方项非负，所以$a - 3 = 0$且$b - 6 = 0$，解得$a = 3$，$b = 6$，
根据三角形三边关系及等腰三角形性质，若$a = c = 3$，$b = 6$，不满足$3 + 3=6$，不能构成三角形，舍去；
若$b = c = 6$，$a = 3$，满足三边关系，此时$\triangle ABC$的周长为$6 + 6 + 3 = 15$。

7.(探究与实践)我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值,如求代数式$a^2 - 2a + 5$的最小值,方法如下：$a^2 - 2a + 5 = a^2 - 2a + 1 + 4 = (a - 1)^2 + 4$,由$(a - 1)^2 \geq 0$,得$(a - 1)^2 + 4 \geq 4$,故$a^2 - 2a + 5$的最小值为4。
(1)仿照上述方法求代数式$x^2 + 10x + 7$的最小值；
(2)代数式$-a^2 - 8a + 16$有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值。

(1) $x^2 + 10x + 7$
$=x^2 + 10x + 25 - 25 + 7$
$=(x + 5)^2 - 18$
$\because (x + 5)^2 \geq 0$
$\therefore (x + 5)^2 - 18 \geq -18$
$\therefore$代数式$x^2 + 10x + 7$的最小值为$-18$。
(2) $-a^2 - 8a + 16$
$=-(a^2 + 8a) + 16$
$=-(a^2 + 8a + 16 - 16) + 16$
$=-[(a + 4)^2 - 16] + 16$
$=-(a + 4)^2 + 16 + 16$
$=-(a + 4)^2 + 32$
$\because (a + 4)^2 \geq 0$
$\therefore -(a + 4)^2 \leq 0$
$\therefore -(a + 4)^2 + 32 \leq 32$
$\therefore$代数式$-a^2 - 8a + 16$有最大值，最大值为$32$。