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正多边形的定义：
思考 (1) 满足哪些条件的多边形才能是正多边形？这些条件能互推吗？怎样作一个圆的内接正 $ n $ 边形？(2) 如图,指出圆内接正六边形的中心、半径、中心角、边心距；正六边形的一个内角、中心角、外角的度数分别是多少？正 $ n $ 边形的一个内角、中心角、外角的度数分别是多少(用含 $ n $ 的式子表示)？
各边相等、各角也相等
的多边形是正多边形。思考 (1) 满足哪些条件的多边形才能是正多边形？这些条件能互推吗？怎样作一个圆的内接正 $ n $ 边形？(2) 如图,指出圆内接正六边形的中心、半径、中心角、边心距；正六边形的一个内角、中心角、外角的度数分别是多少？正 $ n $ 边形的一个内角、中心角、外角的度数分别是多少(用含 $ n $ 的式子表示)？
(1)各边相等且各角相等，不能互推，将圆n等分并顺次连接各分点；(2)中心：点O，半径：OA，中心角：∠AOB，边心距：OG；正六边形内角120°、中心角60°、外角60°；正n边形内角$\frac{(n-2)×180°}{n}$、中心角$\frac{360°}{n}$、外角$\frac{360°}{n}$
答案
各边相等、各角也相等；(1)各边相等且各角相等，不能互推，将圆n等分并顺次连接各分点；(2)中心：点O，半径：OA，中心角：∠AOB，边心距：OG；正六边形内角120°、中心角60°、外角60°；正n边形内角$\frac{(n-2)×180°}{n}$、中心角$\frac{360°}{n}$、外角$\frac{360°}{n}$
解析
正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。
思考(1)：条件为各边相等且各角相等；不能互推；作圆的内接正n边形：将圆n等分，顺次连接各分点。
思考(2)：圆内接正六边形的中心：点O；半径：OA(或OB、OC、OD、OE、OF)；中心角：∠AOB(或相邻两半径夹角)；边心距：OG。正六边形：内角120°，中心角60°，外角60°。正n边形：内角$\frac{(n-2)×180°}{n}$，中心角$\frac{360°}{n}$，外角$\frac{360°}{n}$。
思考(1)：条件为各边相等且各角相等；不能互推；作圆的内接正n边形：将圆n等分，顺次连接各分点。
思考(2)：圆内接正六边形的中心：点O；半径：OA(或OB、OC、OD、OE、OF)；中心角：∠AOB(或相邻两半径夹角)；边心距：OG。正六边形：内角120°，中心角60°，外角60°。正n边形：内角$\frac{(n-2)×180°}{n}$，中心角$\frac{360°}{n}$，外角$\frac{360°}{n}$。
探究 正多边形和圆的有关计算
例 如图,已知 $ \odot O $ 的周长等于 $ 8\pi $,求圆内接正六边形 $ ABCDEF $ 的边心距 $ OM $ 的长。
名师导引 通过作正 $ n $ 边形的半径和边心距,构造出直角三角形,再利用直角三角形的性质和勾股定理,即可解答一些特殊的正多边形的计算问题；如果已知正 $ n $ 边形的边数 $ n $,可由该正 $ n $ 边形的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项,求出其他项。
例 如图,已知 $ \odot O $ 的周长等于 $ 8\pi $,求圆内接正六边形 $ ABCDEF $ 的边心距 $ OM $ 的长。
名师导引 通过作正 $ n $ 边形的半径和边心距,构造出直角三角形,再利用直角三角形的性质和勾股定理,即可解答一些特殊的正多边形的计算问题；如果已知正 $ n $ 边形的边数 $ n $,可由该正 $ n $ 边形的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项,求出其他项。
答案
解：
∵⊙O的周长为8π，
∴2πR=8π，解得R=4。
连接OC、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=360°/6=60°，OC=OD=R=4。
∴△OCD是等边三角形，CD=OC=4。
∵OM是边心距，∴OM⊥CD，CM=MD=CD/2=2。
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OM=√(OC²-CM²)=√(4²-2²)=√12=2√3。
答：边心距OM的长为2√3。
∵⊙O的周长为8π，
∴2πR=8π，解得R=4。
连接OC、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=360°/6=60°，OC=OD=R=4。
∴△OCD是等边三角形，CD=OC=4。
∵OM是边心距，∴OM⊥CD，CM=MD=CD/2=2。
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OM=√(OC²-CM²)=√(4²-2²)=√12=2√3。
答：边心距OM的长为2√3。
变式训练 等边三角形的外接圆半径为 $ 2\sqrt{3} $,则它的边长为
6
。答案
（此处假设是填空题，直接给出答案）
6。
6。
解析
设等边三角形的边长为$a$，外接圆半径为$R$。
由等边三角形性质知，其外接圆半径$R$与边长$a$的关系为：
$R = \frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$，
给定$R = 2\sqrt{3}$，代入上式得：
$2\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$，
解得：
$a = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 6$。
由等边三角形性质知，其外接圆半径$R$与边长$a$的关系为：
$R = \frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$，
给定$R = 2\sqrt{3}$，代入上式得：
$2\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$，
解得：
$a = 2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 6$。
1. (2024 四川中考) 如图,正六边形 $ ABCDEF $ 内接于 $ \odot O $,$ OA = 1 $,则 $ AB = $(
A.$ 2 $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{1}{2} $
C
)A.$ 2 $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{1}{2} $
答案
C
解析
因为正六边形ABCDEF内接于⊙O，所以OA、OB都是⊙O的半径，且OA=OB=1。正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60°。因此，△AOB是等边三角形，所以AB=OA=1。
2. (2024 昆明三模) 如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,如果这个正六边形 $ ABCDEF $ 的周长是 $ 18\sqrt{3} $,则这个正六边形的外接圆的半径是(
A.$ \sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{3} $
D.$ 6 $
C
)A.$ \sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{3} $
D.$ 6 $
答案
C
解析
正六边形周长为$18\sqrt{3}$，则边长$AB = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$。正六边形外接圆半径等于其边长，故外接圆半径为$3\sqrt{3}$。
3. (2023 安徽中考) 如图,正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $,连接 $ OC $,$ OD $,则 $ \angle BAE - \angle COD = $(
A.$ 60° $
B.$ 54° $
C.$ 48° $
D.$ 36° $
D
)A.$ 60° $
B.$ 54° $
C.$ 48° $
D.$ 36° $
答案
D
解析
正五边形内角：$\angle BAE=\frac{(5-2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，
圆心角：$\angle COD = \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$，
$\angle BAE - \angle COD = 108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$。
圆心角：$\angle COD = \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$，
$\angle BAE - \angle COD = 108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$。
4. (2022 营口中考) 如图,在正六边形 $ ABCDEF $ 中,连接 $ AC $,$ CF $,则 $ \angle ACF = $____°。
30
答案
30
解析
连接AD，正六边形ABCDEF内接于圆，中心为O。正六边形内角和为(6-2)×180°=720°，每个内角为120°，即∠ABC=120°。AB=BC，△ABC为等腰三角形，∠BAC=(180°-120°)/2=30°。正六边形边长等于半径，AD为直径，∠ACD=90°。∠BCD=120°，∠ACB=30°，∠ACD=∠ACB+∠BCD'（D'为C到D方向），∠FCD=∠BCD-∠BCF，CF为对角线，∠AFC=60°（正六边形中心角为60°），△AFC中，∠ACF=180°-∠BAC-∠AFC=180°-30°-60°=90°-30°=30°。
