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10. (★★) 小虎解方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$,去分母时,方程右边的“$-1$”忘记乘 $6$,而求得的解为 $x = 16$。试求 $a$ 的值,并正确解方程。
答案
解：依题意可列方程2(2x-1)=3(x+a)-1
x-1=3a
将x=16代入得3a=16-1
解得a=5
∴原方程为$ \frac {2x-1}3=\frac {x+5}2-1$
解得x=11
x-1=3a
将x=16代入得3a=16-1
解得a=5
∴原方程为$ \frac {2x-1}3=\frac {x+5}2-1$
解得x=11
11. (★★) 某自行车队在一次全程 $50$ km 的训练中,要经过一段平路和一段山路。已知平路上自行车的速度为 $600$ m/min,山路上自行车的速度为 $200$ m/min,全程共用时 $150$ min,求平路和山路路程各多少米。
答案
解:设平路的路程为$x\ \mathrm {m}，$
则山路路程为$(5000-x)\ \mathrm {m}，$
根据题意，得$\frac{x}{600}+\frac{5000-x}{200}=15.$
解得x=3000.
所以5000-3000=2000.
所以平路的路程为3000m，山路路程为2000m.
则山路路程为$(5000-x)\ \mathrm {m}，$
根据题意，得$\frac{x}{600}+\frac{5000-x}{200}=15.$
解得x=3000.
所以5000-3000=2000.
所以平路的路程为3000m，山路路程为2000m.
12. (★★★) 当 $m$ 取什么整数时,关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2}mx - \frac{5}{3} = \frac{1}{2}(x - \frac{4}{3})$ 的解是正整数？
答案
解:由$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}=\frac{1}{2}(x-\frac{4}{3})$
去括号 , 得$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}=\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$
移项、合并同类项，得$\frac{1}{2}(m-1)x=1.$
去分母，得(m-1)x=2.
因为x为正整数，
所以m-1为不大于2的正整数
当m-1=1，即m=2时，x=2;
当m-1=2，即m=3时，x=1.
所以当m取2或3时，方程的解是正整数
去括号 , 得$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}=\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$
移项、合并同类项，得$\frac{1}{2}(m-1)x=1.$
去分母，得(m-1)x=2.
因为x为正整数，
所以m-1为不大于2的正整数
当m-1=1，即m=2时，x=2;
当m-1=2，即m=3时，x=1.
所以当m取2或3时，方程的解是正整数
