10. (★)(2023·镇江)如图27.2-33,用一个卡钳$(AD = BC,\frac{OC}{OB}= \frac{OD}{OA}= \frac{1}{3})测量某个零件的内孔直径AB$,量得$CD$长度为6cm,则$AB$等于cm.

18

在△OAB和△ODC中，$\frac{OC}{OB} = \frac{OD}{OA} = \frac{1}{3}$，且∠AOB=∠DOC（对顶角相等），所以△OAB∽△ODC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。相似比为$\frac{OA}{OD} = 3$，故$\frac{AB}{CD} = 3$。已知CD=6cm，所以AB=3×6=18cm。

11. (★★)如图27.2-34,在直角梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 7$,$AD = 2$,$BC = 3$,若在线段$AB上取一点P$,使以$P$,$A$,$D为顶点的三角形和以P$,$B$,$C$为顶点的三角形相似,这样的点$P$有个.

3

设 $ AP = x $，则 $ PB = 7 - x $。
∵ $ \angle A = \angle B = 90° $，$ \triangle PAD $ 与 $ \triangle PBC $ 相似，分两种情况：
情况1： $ \frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BC} $
即 $ \frac{x}{7 - x} = \frac{2}{3} $，解得 $ x = \frac{14}{5} = 2.8 $（在 $ AB $ 上）。
情况2： $ \frac{AP}{BC} = \frac{AD}{PB} $
即 $ \frac{x}{3} = \frac{2}{7 - x} $，整理得 $ x^2 - 7x + 6 = 0 $，解得 $ x = 1 $ 或 $ x = 6 $（均在 $ AB $ 上）。
综上，符合条件的点 $ P $ 有3个。

12. (★★)在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形. 在如图27.2-35所示的$5×5$的方格纸中,以$A$,$B为顶点作格点三角形与\triangle OAB$相似(相似比不为1),则另一个格点$C$的坐标为____.zyjl.cn/pic18/2025-09-25/6f402185e047723b110d96e0f1b10307.jpg?x-oss-process=image/crop,x_559,y_1576,w_357,h_387">

(5,2)

解：在$5×5$方格纸中，已知$A(1,0)$，$B(0,2)$，则$OA=1$，$OB=2$，$AB=\sqrt{(1-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}$。$\triangle OAB$的三边之比为$OA:OB:AB=1:2:\sqrt{5}$。
要作与$\triangle OAB$相似（相似比不为1）的格点三角形$ABC$，分两种情况：
情况1： 当$\triangle ABC \sim \triangle OAB$时，相似比$k=2$。则$AC=2OA=2$，$BC=2OB=4$。根据格点性质，可得$C(4,2)$。
情况2： 当$\triangle ACB \sim \triangle OAB$时，相似比$k=\sqrt{5}$。则$AC=OB=2$，$BC=OA=1$。根据格点性质，可得$C(2,4)$。
另一个格点$C$的坐标为$(4,2)$或$(2,4)$。
答案：$(4,2)$，$(2,4)$

13. (★★)在$\triangle ABC$中,AB = 6,AC = 5,点D在边AB上,且AD = 2,点E在边AC上,当AE = 时,以A,D,E为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似.

$\frac{5}{3}$或$\frac{12}{5}$

本题可分两种情况来讨论$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似的情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解。
情况一：当$\triangle ADE\sim\triangle ABC$时，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$AB = 6$，$AC = 5$，$AD = 2$，将其代入$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$可得：
$\frac{AE}{5}=\frac{2}{6}$，
交叉相乘可得$6AE = 5×2$，
即$6AE = 10$，
解得$AE=\frac{5}{3}$。
情况二：当$\triangle AED\sim\triangle ABC$时，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
将$AB = 6$，$AC = 5$，$AD = 2$代入$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$可得：
$\frac{AE}{6}=\frac{2}{5}$，
交叉相乘可得$5AE = 6×2$，
即$5AE = 12$，
解得$AE=\frac{12}{5}$。
综上，当$AE = \frac{5}{3}$或$\frac{12}{5}$时，以$A$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似。

14. (★★)如图27.2-36,点$D$,$E分别在AC$,$BC$上,如果测得$CD = 20\mathrm{m}$,$CE = 40\mathrm{m}$,$AD = 100\mathrm{m}$,$BE = 20\mathrm{m}$,$DE = 45\mathrm{m}$,求$A$,$B$间的距离.

$ AB = 135 \, m $

解：
1. 计算AC和BC的长度：
$ AC = AD + CD = 100 + 20 = 120 \, m $，
$ BC = BE + CE = 20 + 40 = 60 \, m $。
2. 在$\triangle CDE$中，由余弦定理得：
$ DE^2 = CD^2 + CE^2 - 2 \cdot CD \cdot CE \cdot \cos \angle C $，
代入数据：$ 45^2 = 20^2 + 40^2 - 2 × 20 × 40 × \cos \angle C $，
即 $ 2025 = 400 + 1600 - 1600 \cos \angle C $，
解得 $ \cos \angle C = \frac{2000 - 2025}{1600} = -\frac{1}{64} $。
3. 在$\triangle CAB$中，由余弦定理得：
$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C $，
代入数据：$ AB^2 = 120^2 + 60^2 - 2 × 120 × 60 × \left(-\frac{1}{64}\right) $，
即 $ AB^2 = 14400 + 3600 + 225 = 18225 $，
解得 $ AB = \sqrt{18225} = 135 \, m $。

15. (★★)如图27.2-37,在$\triangle ABC$中,$AC ＞ BC$,$D是AC$边上一点,连接$BD$.
(1)要使$\triangle ABC\backsim\triangle BDC$,还需要补充的一个条件是(只要求填一个)；
(2)若$\triangle CBD\backsim\triangle CAB$,且$AD = 2$,$BC = \sqrt{3}$,求$CD$的长.

(1) ∠A=∠DBC；(2) 1

(1) ∠A=∠DBC（或∠ABC=∠BDC或$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$，答案不唯一）
(2) 设$CD=x$，则$AC=AD+CD=2+x$。
∵$\triangle CBD \backsim \triangle CAB$，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{CD}{CB}$，即$CB^2=CA \cdot CD$。
∵$BC=\sqrt{3}$，
∴$(\sqrt{3})^2=(2+x) \cdot x$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$（舍去），
∴$CD=1$。