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6. (★)如图24.3 - 2,正五边形ABCDE内接于⊙O,P为$\overset{\LARGE{\frown}}{DE}$上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为【
A.$30^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
B
】A.$30^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
答案
B
解析
连接$O C, O D$，由于正五边形$ABCDE$内接于圆，所以其各边相等，各边所对的圆心角也相等。
正五边形的各边所对的圆心角为$\frac{360°}{5} = 72°$，即$\angle COD = 72°$。
根据圆周角定理，$\angle CPD$等于$\angle COD$的一半，即$\angle CPD = \frac{1}{2} × \angle COD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
正五边形的各边所对的圆心角为$\frac{360°}{5} = 72°$，即$\angle COD = 72°$。
根据圆周角定理，$\angle CPD$等于$\angle COD$的一半，即$\angle CPD = \frac{1}{2} × \angle COD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
7. (★★)将边长为3cm的正三角形各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积为【
A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}cm^{2}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{8}cm^{2}$
D.$3\sqrt{3}cm^{2}$
A
】A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}cm^{2}$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{8}cm^{2}$
D.$3\sqrt{3}cm^{2}$
答案
A
解析
原正三角形边长为3cm，将每条边三等分，每个分点将边长分为1cm的小段。
以六个分点为顶点形成的正六边形，可将其视为由六个等边的小正三角形组成，每个小正三角形的边长为1cm。
正三角形面积公式为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，其中$a$为边长。
每个小正三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} × 1^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}cm^{2}$。
正六边形由六个这样的小正三角形组成，所以总面积为$6 × \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}cm^{2}$。
以六个分点为顶点形成的正六边形，可将其视为由六个等边的小正三角形组成，每个小正三角形的边长为1cm。
正三角形面积公式为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，其中$a$为边长。
每个小正三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} × 1^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}cm^{2}$。
正六边形由六个这样的小正三角形组成，所以总面积为$6 × \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}cm^{2}$。
8. (★★)(2023·涵江)一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为$18^{\circ}$,则该正多边形的边数是【
A.14
B.18
C.16
D.20
D
】A.14
B.18
C.16
D.20
答案
D
解析
正多边形的一条边所对的圆心角的度数为$\frac{360^{\circ}}{n}$（$n$为边数），
由题意，$\frac{360^{\circ}}{n}=18^{\circ}$，
解得$n = \frac{360^{\circ}}{18^{\circ}}=20$。
由题意，$\frac{360^{\circ}}{n}=18^{\circ}$，
解得$n = \frac{360^{\circ}}{18^{\circ}}=20$。
9. (★★)(2023·河北)如图24.3 - 3,点$P_{1},P_{2},…,P_{8}$是⊙O的八等分点。若$\triangle P_{1}P_{3}P_{7}$,四边形$P_{3}P_{4}P_{6}P_{7}的周长分别为a,b$,则下列选项正确的是【
A.$a ＜ b$
B.$a = b$
C.$a ＞ b$
D.$a,b$大小无法比较
A
】A.$a ＜ b$
B.$a = b$
C.$a ＞ b$
D.$a,b$大小无法比较
答案
A
解析
设⊙O半径为r，八等分点对应圆心角45°，弦长公式l=2r sin(θ/2)(θ为圆心角)。
三角形P₁P₃P₇周长a：
P₁P₃：对应2个45°圆心角(90°)，弦长=2r sin45°=r√2；
P₃P₇：对应4个45°圆心角(180°)，弦长=2r sin90°=2r；
P₇P₁：对应2个45°圆心角(90°)，弦长=r√2；
则a=r√2 + 2r + r√2=2r(√2 + 1)≈4.828r。
四边形P₃P₄P₆P₇周长b：
P₃P₄、P₆P₇：各对应1个45°圆心角，弦长=2r sin22.5°≈0.765r；
P₄P₆：对应2个45°圆心角(90°)，弦长=r√2≈1.414r；
P₇P₃：对应4个45°圆心角(180°)，弦长=2r；
则b=2×0.765r + 1.414r + 2r≈4.944r。
比较得a≈4.828r ＜ b≈4.944r。
三角形P₁P₃P₇周长a：
P₁P₃：对应2个45°圆心角(90°)，弦长=2r sin45°=r√2；
P₃P₇：对应4个45°圆心角(180°)，弦长=2r sin90°=2r；
P₇P₁：对应2个45°圆心角(90°)，弦长=r√2；
则a=r√2 + 2r + r√2=2r(√2 + 1)≈4.828r。
四边形P₃P₄P₆P₇周长b：
P₃P₄、P₆P₇：各对应1个45°圆心角，弦长=2r sin22.5°≈0.765r；
P₄P₆：对应2个45°圆心角(90°)，弦长=r√2≈1.414r；
P₇P₃：对应4个45°圆心角(180°)，弦长=2r；
则b=2×0.765r + 1.414r + 2r≈4.944r。
比较得a≈4.828r ＜ b≈4.944r。
10. (★★)(2023·潍坊)如图24.3 - 4,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若$\angle ADB = 18^{\circ}$,则这个正多边形的边数为
10
。答案
10
解析
连接OA、OB，A、B、C、D在正多边形的外接圆上。∠ADB是圆周角，所对弧为AB，故∠ADB=1/2弧AB度数，得弧AB度数=2×18°=36°。正多边形中心角∠AOB=弧AB度数=36°。边数n=360°÷36°=10。
11. (★)如图24.3 - 5,AC是⊙O的内接正六边形的一边,点B在$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$上,且BC是⊙O的内接正十边形的一边,若AB是⊙O的内接正$n$边形的一边,则$n = $
15
。答案
15
解析
连接OA、OB、OC。
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°/6=60°。
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°/10=36°。
∵点B在$\overset{\frown}{AC}$上，
∴∠AOB=∠AOC - ∠BOC=60° - 36°=24°。
∵AB是⊙O内接正n边形的一边，
∴正n边形的中心角为24°，即360°/n=24°，解得n=15。
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°/6=60°。
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°/10=36°。
∵点B在$\overset{\frown}{AC}$上，
∴∠AOB=∠AOC - ∠BOC=60° - 36°=24°。
∵AB是⊙O内接正n边形的一边，
∴正n边形的中心角为24°，即360°/n=24°，解得n=15。
12. (★★)如图24.3 - 6,⊙O的内接多边形周长为3,⊙O的外切多边形周长为3.4,则下列各数中与此圆的周长最接近的是【
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{17}$
C
】A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{17}$
答案
C
解析
设圆的半径为$r$，⊙O的内接正多边形的周长为$2nr \sin \left(\frac{180°}{n}\right) = 3$，
⊙O的外切正多边形的周长为$2nr \tan \left(\frac{180°}{n}\right) = 3.4$。
圆的周长为$2\pi r$。
根据题意，内接正多边形和外切正多边形的周长比值为：
$\frac{2nr \sin \left(\frac{180°}{n}\right)}{2nr \tan \left(\frac{180°}{n}\right)} = \frac{3}{3.4} \approx 0.882$
$\frac{\sin \theta}{\tan \theta} = \cos \theta \approx 0.882$
$\theta \approx \frac{180°}{n}$
查表或计算得$\cos \theta \approx 0.882$时，$\theta \approx 28°$，
$n \approx \frac{180°}{28°} \approx 6.4$
取$n \approx 6$。
内接正六边形的周长为$6r = 3$，
$r = 0.5$
圆的周长为$2\pi r = 2 × 3.14 × 0.5 \approx 3.14$
$\sqrt{10} \approx 3.16$
与圆的周长最接近的是$\sqrt{10}$。
⊙O的外切正多边形的周长为$2nr \tan \left(\frac{180°}{n}\right) = 3.4$。
圆的周长为$2\pi r$。
根据题意，内接正多边形和外切正多边形的周长比值为：
$\frac{2nr \sin \left(\frac{180°}{n}\right)}{2nr \tan \left(\frac{180°}{n}\right)} = \frac{3}{3.4} \approx 0.882$
$\frac{\sin \theta}{\tan \theta} = \cos \theta \approx 0.882$
$\theta \approx \frac{180°}{n}$
查表或计算得$\cos \theta \approx 0.882$时，$\theta \approx 28°$，
$n \approx \frac{180°}{28°} \approx 6.4$
取$n \approx 6$。
内接正六边形的周长为$6r = 3$，
$r = 0.5$
圆的周长为$2\pi r = 2 × 3.14 × 0.5 \approx 3.14$
$\sqrt{10} \approx 3.16$
与圆的周长最接近的是$\sqrt{10}$。
13. (★★)如图24.3 - 7,点D,E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB,AC边上的中点,若⊙O的半径为2,则DE的长等于【
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.1
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
A
】A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.1
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
A
解析
连接OB、OC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴⊙O为△ABC外接圆，半径OB=OC=2，中心角∠BOC=360°/3=120°。过O作OF⊥BC于F，由垂径定理得BF=FC，∠BOF=60°。在Rt△BOF中，BF=OB·sin60°=2×(√3/2)=√3，
∴BC=2BF=2√3。
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE是△ABC中位线，DE=1/2BC=√3。
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴⊙O为△ABC外接圆，半径OB=OC=2，中心角∠BOC=360°/3=120°。过O作OF⊥BC于F，由垂径定理得BF=FC，∠BOF=60°。在Rt△BOF中，BF=OB·sin60°=2×(√3/2)=√3，
∴BC=2BF=2√3。
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE是△ABC中位线，DE=1/2BC=√3。
