22. (10 分)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ AB $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ B $,$ A $,与反比例函数的图象分别交于点 $ C $,$ D $,$ CE \perp x $ 轴于点 $ E $,$ \tan \angle ABO = \frac{1}{2} $,$ OB = 8 $,$ OE = 4 $.求该反比例函数的表达式.

y=-24/x

1. 确定点B坐标：∵OB=8，B在x轴上，∴B(8,0)。
2. 确定点A坐标：在Rt△ABO中，tan∠ABO=AO/BO=1/2，BO=8，∴AO=4，A在y轴正半轴，∴A(0,4)。
3. 求直线AB解析式：设y=kx+b，将A(0,4)代入得b=4；将B(8,0)代入：0=8k+4，解得k=-1/2，∴直线AB：y=-1/2x+4。
4. 求点C坐标：CE⊥x轴于E，OE=4，E在x轴负半轴（避免交点唯一），∴E(-4,0)，C横坐标为-4。代入直线AB：y=-1/2×(-4)+4=6，∴C(-4,6)。
5. 求反比例函数表达式：设y=k/x，将C(-4,6)代入：6=k/(-4)，解得k=-24，∴y=-24/x。