7. (★★★)某实验小组的同学经过讨论,设计了一种测量未知电阻$R_x$阻值的方案。电路如图 12W3 - 7 所示,电源电压未知但恒定不变,$a$、$b$为滑动变阻器左、右两个端点,滑动变阻器的最大阻值为$R_{max}$。请把以下测量步骤补充完整。

①闭合开关$S$,滑动头$P移到a$端时,读出电压表的示数$U_1$；
②闭合开关$S$,,读出电压表的示数$U_2$；
③待测电阻$R_x = $ (用已知量和测量量表示)。

② 滑动头 $P$ 移到 $b$ 端
③ $R_x = \frac{U_2 \cdot R_{max}}{U_1 - U_2}$

① 闭合开关 $S$，滑动头 $P$ 移到 $a$ 端时，读出电压表的示数 $U_1$。此时，电压表测量的是电源电压 $U_1$。
② 闭合开关 $S$，滑动头 $P$ 移到 $b$ 端时，读出电压表的示数 $U_2$。此时，电压表测量的是待测电阻 $R_x$ 两端的电压 $U_2$，滑动变阻器此时阻值为最大值 $R_{max}$。
③ 根据电路欧姆定律，电源电压 $U_1$ 等于 $R_x$ 和 $R_{max}$ 串联时的总电压。即：
$U_1 = U_2 + I \cdot R_{max}$
其中，电流 $I$ 为：
$I = \frac{U_2}{R_x}$
代入，有：
$U_1 = U_2 + \frac{U_2}{R_x} \cdot R_{max}$
整理得到：
$R_x = \frac{U_2 \cdot R_{max}}{U_1 - U_2}$

8. (★★★)小明同学想测量某一未知定值电阻的阻值,连接了如图 12W3 - 8 所示的电路,但在实验时电流表短接。已知滑动变阻器的最大阻值为$R_0$,电源电压恒定,他也测出了$R_x$的阻值,具体操作是：
①将滑动变阻器调到最大阻值,闭合开关,读出电压表的示数$U_1$；
②再将滑动变阻器调到最小阻值,读出电压表的示数$U_2$；
③待测电阻$R_x = $(用$U_1$、$U_2$、$R_0$表示)。

$ \frac{U_1 \cdot R_0}{U_2 - U_1} $

1. 当滑动变阻器调到最大阻值时，电路中的总电阻为 $R_x + R_0$，此时电压表测得的是 $R_x$ 两端的电压 $U_1$。根据欧姆定律，电路中的电流 $I = \frac{U_1}{R_x}$。
2. 电源电压 $U$ 可以表示为 $U = U_1 + I \cdot R_0 = U_1 + \frac{U_1}{R_x} \cdot R_0$。
3. 当滑动变阻器调到最小阻值时，滑动变阻器的阻值为0，此时电压表测得的是电源电压 $U_2$，即 $U = U_2$。
4. 联立以上两式，得到 $U_2 = U_1 + \frac{U_1}{R_x} \cdot R_0$。
5. 解方程，得到 $R_x = \frac{U_1 \cdot R_0}{U_2 - U_1}$。

9. (★★★)某实验小组的电流表损坏,不能使用,同学们利用图 12W3 - 9 所示的电路也完成了实验,操作步骤如下：

①闭合开关,移动滑动变阻器的滑动头至$A$端,电压表的示数为$U_1$；
②再将滑动变阻器的滑动头移至$B$端,电压表的示数为$U_2$；
③若滑动变阻器的最大阻值为$R$,则$R_x = $ (用$R$、$U_1$、$U_2$表示)。

U₂R/(U₁ - U₂)

当滑片在A端时，滑动变阻器接入电阻为0，电路中只有Rx，电压表测电源电压，故电源电压U=U₁。当滑片在B端时，滑动变阻器接入最大电阻R，Rx与R串联，电压表测Rx两端电压U₂。此时电路电流I=U₂/Rx，电源电压U=I(Rx+R)=U₂/Rx·(Rx+R)。又因为U=U₁，所以U₁=U₂(Rx+R)/Rx，整理得U₁Rx=U₂Rx+U₂R，U₁Rx - U₂Rx=U₂R，Rx(U₁ - U₂)=U₂R，故Rx=U₂R/(U₁ - U₂)。