1. (2024·湖北中考)计算$2x\cdot 3x^{2}$的结果是()
A.$5x^{2}$
B.$6x^{2}$
C.$5x^{3}$
D.$6x^{3}$

D

根据单项式与单项式相乘的法则，系数相乘，同底数幂相乘。
$2x \cdot 3x^{2} = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^{2}) = 6 \cdot x^{1+2} = 6x^{3}$

2. 若一个长方形的长为$6x^{2}y$,宽为$3xy$,则它的面积为()
A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$

B

长方形的面积公式为长乘以宽，即$6x^{2}y × 3xy$。
将系数相乘：$6 × 3 = 18$，
将$x$的指数相加：$x^{2} \cdot x = x^{3}$，
将$y$的指数相加：$y \cdot y = y^{2}$。
因此，面积为$18x^{3}y^{2}$。

3. 下列计算正确的是()

A.$2a^{2}\cdot 3ab = 9a^{3}b$
B.$(x^{2})^{3}+(x^{3})^{2}= 2x^{5}$
C.$(-3a^{2}b)\cdot (-3ab)= -6a^{3}b^{2}$
D.$(ab)^{2}\cdot (-a^{2}b)= -a^{4}b^{3}$

D

A. $2a^{2} \cdot 3ab = 6a^{3}b \neq 9a^{3}b$，选项错误。
B. $(x^{2})^{3} + (x^{3})^{2} = x^{6} + x^{6} = 2x^{6} \neq 2x^{5}$，选项错误。
C. $(-3a^{2}b) \cdot (-3ab) = 9a^{3}b^{2} \neq -6a^{3}b^{2}$，选项错误。
D. $(ab)^{2} \cdot (-a^{2}b) = a^{2}b^{2} \cdot (-a^{2}b) = -a^{4}b^{3}$，选项正确。

4. 计算$2xy\cdot (-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}z)\cdot (-3x^{3}y^{3})$的结果是()
A.$3x^{6}y^{6}z$
B.$-3x^{6}y^{6}z$
C.$3x^{5}y^{5}z$
D.$-3x^{5}y^{5}z$

A

根据题意计算：
$2xy \cdot (-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}z) \cdot (-3x^{3}y^{3})$
1. 系数相乘：
$2 × (-\frac{1}{2}) × (-3) = 2 × \frac{3}{2} = 3$
2. $x$ 的指数相加：
$x^{1} \cdot x^{2} \cdot x^{3} = x^{1+2+3} = x^{6}$
3. $y$ 的指数相加：
$y^{1} \cdot y^{2} \cdot y^{3} = y^{1+2+3} = y^{6}$
4. $z$ 的指数：
仅第二个单项式含 $z$，指数为 $1$，结果为 $z$
合并结果：$3x^{6}y^{6}z$

5. 计算：$(-2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})^{2}=$。

$-18x^{4}y^{5}$。

首先计算 $(3xy^{2})^{2}$，
根据积的乘方运算法则，有：
$(3xy^{2})^{2} = 3^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{4} = 9x^{2}y^{4}$，
接着，将 $-2x^{2}y$ 与 $9x^{2}y^{4}$ 相乘，
根据单项式乘单项式的运算法则，有：
$-2x^{2}y \cdot 9x^{2}y^{4} = -18x^{4}y^{5}$。

6. 计算：
(1)$4xy^{2}\cdot (-\frac{3}{8}x^{2}yz^{3})$；
(2)$3.2mn^{2}\cdot (-0.125m^{2}n^{3})$；
(3)$3a^{2}b\cdot 2ab^{2}\cdot (-5ac^{2})$；
(4)$(2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})-4xy\cdot (xy)^{2}$。

(1)
$4xy^{2}\cdot (-\frac{3}{8}x^{2}yz^{3})$
$=(4×(-\frac{3}{8}))×(x\cdot x^{2})×(y^{2}\cdot y)× z^{3}$
$=-\frac{3}{2}x^{3}y^{3}z^{3}$
(2)
$3.2mn^{2}\cdot (-0.125m^{2}n^{3})$
$=[3.2×(-0.125)]×(m\cdot m^{2})×(n^{2}\cdot n^{3})$
$=-0.4m^{3}n^{5}$
(3)
$3a^{2}b\cdot 2ab^{2}\cdot (-5ac^{2})$
$=[3×2×(-5)]×(a^{2}\cdot a\cdot a)×(b\cdot b^{2})× c^{2}$
$=-30a^{4}b^{3}c^{2}$
(4)
$(2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})-4xy\cdot (xy)^{2}$
$=(2×3)×(x^{2}\cdot x)×(y\cdot y^{2})-4× x×(x^{2}× y^{2}× y)$
$=6x^{3}y^{3}-4x^{3}y^{3}$
$=2x^{3}y^{3}$

7. 先化简,再求值：
$3x^{2}y\cdot (-4xy^{2})+5xy\cdot (-2xy)^{2}$,其中$x = 2$,$y = -\frac{1}{2}$。

$-8$

化简过程：
1. 计算 $3x^{2}y \cdot (-4xy^{2})$：
$3 × (-4) \cdot x^{2+1} \cdot y^{1+2} = -12x^{3}y^{3}$
2. 计算 $5xy \cdot (-2xy)^{2}$：
先算乘方：$(-2xy)^{2} = 4x^{2}y^{2}$
再算乘法：$5xy \cdot 4x^{2}y^{2} = 20x^{3}y^{3}$
3. 合并同类项：
$-12x^{3}y^{3} + 20x^{3}y^{3} = 8x^{3}y^{3}$
代入求值：
当 $x = 2$，$y = -\frac{1}{2}$ 时，
$8x^{3}y^{3} = 8(xy)^{3} = 8\left[2 × \left(-\frac{1}{2}\right)\right]^{3} = 8(-1)^{3} = 8 × (-1) = -8$

8. 已知$-3x^{4b - 1}y^{2}与x^{3}y^{a + b}$是同类项,那么这两个单项式的积是()
A.$3x^{6}y^{4}$
B.$-x^{3}y^{2}$
C.$x^{3}y^{2}$
D.$-3x^{6}y^{4}$

D

根据同类项的定义，两个单项式为同类项，则相同字母的指数相同，可列出：
对于x的指数：$4b - 1 = 3$，
对于y的指数：$a + b = 2$。
解这个方程组，首先从$4b - 1 = 3$可得$4b = 4$，解得$b = 1$。
将$b = 1$代入$a + b = 2$，可得$a + 1 = 2$，解得$a = 1$。
所以，两个单项式分别为$-3x^{3}y^{2}$与$x^{3}y^{2}$。
根据单项式乘单项式的运算法则，把它们相乘，可得：
$(-3x^{3}y^{2}) × (x^{3}y^{2}) = -3x^{3 + 3}y^{2 + 2} = -3x^{6}y^{4}$。

9. 计算$-(a^{2}b)^{3}+2a^{2}b\cdot (-3a^{2}b)^{2}$的结果是()
A.$-17a^{6}b^{3}$
B.$-18a^{6}b^{3}$
C.$17a^{6}b^{3}$
D.$18a^{6}b$

C

首先计算$-(a^{2}b)^{3}$：
$-(a^{2}b)^{3} = -a^{6}b^{3}$
接着计算$2a^{2}b \cdot (-3a^{2}b)^{2}$：
$(-3a^{2}b)^{2} = 9a^{4}b^{2}$
$2a^{2}b \cdot 9a^{4}b^{2} = 18a^{6}b^{3}$
将两部分相加：
$-a^{6}b^{3} + 18a^{6}b^{3} = 17a^{6}b^{3}$

10. 若$(-a^{m + 1}b^{2n + 2})\cdot (2a^{2m - 1}b^{1 - n})= -2a^{6}b^{3}$,则$mn$的值为()
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$

C

$\begin{aligned}(-a^{m + 1}b^{2n + 2})\cdot (2a^{2m - 1}b^{1 - n})&=-2a^{(m + 1)+(2m - 1)}b^{(2n + 2)+(1 - n)}\\&=-2a^{3m}b^{n + 3}\end{aligned}$
因为结果为$-2a^{6}b^{3}$，所以$\begin{cases}3m = 6\\n + 3 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2\\n = 0\end{cases}$，则$mn=2×0=0$

11. 如图,王老师把家里的WiFi密码设置成了数学问题.小明同学来王老师家做客,看到WiFi图片,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了王老师家里的网络,那么他输入的密码是。

1. 首先，根据同底数幂的乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$和幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$对$(x^{2}y)^{4}\cdot(y^{2}z^{44})^{2}$进行化简：
对于$(x^{2}y)^{4}$，根据$(a^{m}b^{n})^{p}=a^{mp}b^{np}$，可得$(x^{2}y)^{4}=x^{2×4}y^{1×4}=x^{8}y^{4}$；
对于$(y^{2}z^{44})^{2}$，可得$(y^{2}z^{44})^{2}=y^{2×2}z^{44×2}=y^{4}z^{88}$；
则$(x^{2}y)^{4}\cdot(y^{2}z^{44})^{2}=x^{8}y^{4}\cdot y^{4}z^{88}$。
再根据同底数幂的乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，$x^{8}y^{4}\cdot y^{4}z^{88}=x^{8}y^{4 + 4}z^{88}=x^{8}y^{8}z^{88}$。
2. 然后，根据已知条件找规律：
由“王$\oplus[x^{13}yz^{4}]=$Wang1314”，可知$x$的次数$13$，$y$的次数$1$，$z$的次数$4$，组合为$1314$；
由“浩$\oplus[xy^{15}\cdot x^{2}z^{20}]=$hao31520”，先化简$xy^{15}\cdot x^{2}z^{20}=x^{1 + 2}y^{15}z^{20}=x^{3}y^{15}z^{20}$，$x$的次数$3$，$y$的次数$15$，$z$的次数$20$，组合为$31520$。
3. 最后，确定密码：
对于$x^{8}y^{8}z^{88}$，按照前面的规律，$x$的次数$8$，$y$的次数$8$，$z$的次数$88$。
所以密码是$8888$。

先分析“⊕”规则：中括号内单项式（或乘积）中x、y、z的指数依次排列为数字部分。
“王”例：$x^{13}yz^4$中x指数13、y指数1、z指数4，得1314；
“浩”例：$xy^{15}·x^2z^{20}=x^{1+2}y^{15}z^{20}=x^3y^{15}z^{20}$，x指数3、y指数15、z指数20，得31520。
“阳”中括号内：$(x^2y)^4·(y^2z^{44})^2=x^{8}y^4·y^4z^{88}=x^8y^8z^{88}$，x指数8、y指数8、z指数88，排列得8888。