【典型例题1】 运用完全平方公式计算：
(1) $(4x - 5y)^2$；
(2) $(-3a + 2)^2$；
(3) $(-2a - b)^2$。
【解】 (1) 原式 $= (4x)^2 - 2\cdot 4x\cdot 5y + (5y)^2 = 16x^2 - 40xy + 25y^2$。
(2) 原式 $= (-3a)^2 + 2\cdot (-3a)\cdot 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$。
(3) $(-2a - b)^2 = (2a + b)^2 = (2a)^2 + 2\cdot 2a\cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$。

答题卡：
(1) 原式 $= (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5y + (5y)^2$
$= 16x^2 - 40xy + 25y^2$。
(2) 原式 $= (-3a)^2 + 2 \cdot (-3a) \cdot 2 + 2^2$
$= 9a^2 - 12a + 4$。
(3) 原式 $= (-2a - b)^2$
$= (-2a)^2 - 2\cdot (-2a)\cdot b + b^2$（或直接应用完全平方公式$(-2a - b)^2=(2a + b)^2$）
$= 4a^2 + 4ab + b^2$。

1. 下列计算正确的是()

A.$(m - n)^2 = m^2 - n^2$
B.$(m - n)(m + n) = m^2 + n^2$
C.$(m - \frac{1}{2})^2 = m^2 - m + \frac{1}{4}$
D.$(m + n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

C

A. 展开 $(m - n)^2$ 得 $m^2 - 2mn + n^2$，与 $m^2 - n^2$ 不一致，错误。
B. 展开 $(m - n)(m + n)$ 得 $m^2 - n^2$，与 $m^2 + n^2$ 不一致，错误。
C. 展开 $(m - \frac{1}{2})^2$ 得 $m^2 - m + \frac{1}{4}$，与题目一致，正确。
D. 展开 $(m + n)^2$ 得 $m^2 + 2mn + n^2$，与 $m^2 - 2mn + n^2$ 不一致，错误。

【典型例题2】 (1) 运用完全平方公式计算：
① $201^2$；② $999^2$。
(2) 已知 $a + b = 5$,$ab = -6$,求下列各式的值：
① $a^2 + b^2$；② $a^2 - ab + b^2$。
【解】 (1) ① $201^2 = (200 + 1)^2 = 200^2 + 2× 200× 1 + 1^2 = 40000 + 400 + 1 = 40401$。
② $999^2 = (1000 - 1)^2 = 1000^2 - 2000 + 1 = 1000000 - 2000 + 1 = 998001$。
(2) ① $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2× (-6) = 25 + 12 = 37$。
② $a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab = 5^2 - 3× (-6) = 25 + 18 = 43$。

答题卡：
(1) ①
$201^2$
$=(200 + 1)^2$
$= 200^2 + 2× 200× 1 + 1^2$
$= 40000 + 400 + 1$
$= 40401$
②
$999^2$
$=(1000 - 1)^2$
$= 1000^2 - 2× 1000× 1 + 1^2$
$= 1000000 - 2000 + 1$
$= 998001$
(2) ①
因为$a + b = 5$，$ab = -6$，
$a^2 + b^2$
$=(a + b)^2 - 2ab$
$= 5^2 - 2×(-6)$
$= 25 + 12$
$= 37$
②
$a^2 - ab + b^2$
$=(a + b)^2 - 3ab$
$= 5^2 - 3×(-6)$
$= 25 + 18$
$= 43$

2. 若 $a + b = 3$,$a^2 + b^2 = 7$,则 $ab$ 等于()
A.2
B.1
C.-2
D.-1

B

根据完全平方公式，有$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
将$a + b = 3$代入，得到$(a + b)^2 = 3^2 = 9$。
又因为$a^2 + b^2 = 7$，可以将这个值代入到完全平方公式中，得到：
$9 = 7 + 2ab$，
解这个方程，得到：
$2ab = 9 - 7 = 2$，
$ab = 1$。

1. 下列各式能运用完全平方公式计算的是()
A.$(2a + b)(a - 2b)$
B.$(a + 2b)(2b - a)$
C.$(2a + b)(-2a - b)$
D.$(b - 2a)(-2a - b)$

C

完全平方公式为$(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$，要求两数和或差的平方，需两项符号相同或两项都化为相反数后符号相同。
对选项逐一分析：
A. 两项符号无统一规律，无法构成完全平方公式；
B. 可变形为$(2b + a)(2b - a)$，为平方差公式，非完全平方公式；
C. 可变形为$- (2a + b)(2a + b) = - (2a + b)^2$，符合完全平方公式形式；
D. 可变形为$- (2a - b)(2a + b)$，为平方差公式，非完全平方公式。

2. $(2x + 4y)^2 = 4x^2 + \underline{} + 16y^2$。

$16xy$

根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，在$(2x + 4y)^2$中$a = 2x$，$b = 4y$，则$(2x + 4y)^2=(2x)^2+2×2x×4y+(4y)^2=4x^2 + 16xy+16y^2$。

3. 若 $(x - 1)^2 = 2$,则代数式 $x^2 - 2x + 5$ 的值为 $\underline{}$。

6

由$(x - 1)^2 = 2$，将$x^2 - 2x + 5$变形为$(x^2 - 2x + 1)+4$，而$x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$，所以$x^2 - 2x + 5=(x - 1)^2 + 4$。
把$(x - 1)^2 = 2$代入$(x - 1)^2 + 4$，可得$2 + 4 = 6$。