1. 如图1,分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆. 设直线AB左边阴影部分的面积为$ S_{1} $,右边阴影部分的面积和为$ S_{2} $,则()

A.$ S_{1}= S_{2} $
B.$ S_{1}＜S_{2} $
C.$ S_{1}＞S_{2} $

D.无法确定

A

设直角三角形两直角边为$a$、$b$，斜边为$c$。
$S_{1}$为以$a$、$b$为直径的两个半圆面积之和，即：
$S_{1}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\frac{\pi a^{2}}{8}+\frac{\pi b^{2}}{8}$
$S_{2}$为以$c$为直径的半圆面积，即：
$S_{2}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{c}{2}\right)^{2}=\frac{\pi c^{2}}{8}$
由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则$\frac{\pi a^{2}}{8}+\frac{\pi b^{2}}{8}=\frac{\pi c^{2}}{8}$，故$S_{1}=S_{2}$。
A

2. 如图2,在一个由$ 4×4 $个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是()

A.$ 3:4 $
B.$ 1:2 $
C.$ 9:6 $
D.$ 5:8 $

D

3. 如图3,一艘帆船要向东横渡宽为96m的大河,由于大风的原因,船沿南偏东方向走,在离横渡地点72m的地方靠岸. 已知船在静水的速度为3m/s,风速为2m/s(水流速度不算,船顺着风走),则船航行的时间为()

A.40s
B.60s
C.24s
D.32s

C

设船航行的距离为$x$米，根据勾股定理可得：$x = \sqrt{96^2 + 72^2} = \sqrt{9216 + 5184} = \sqrt{14400} = 120$
船的实际速度为静水速度与风速之和：$3 + 2 = 5$（m/s）
航行时间为：$120 ÷ 5 = 24$（s）
C

1. 如图4,小明从家走到邮局用了8分钟,然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店. 已知书店距离邮局660米,那么小明家距离书店米.

1 100

小明的速度：$660÷6 = 110$（米/分钟）
家到邮局的距离：$110×8 = 880$（米）
家到书店的距离：$\sqrt{880^{2}+660^{2}} = 1100$（米）
1100

2. 如图5,等腰$\triangle ABC $中,$ AB= AC $,AD是底边上的高,若$ AB= 5cm $,$ BC= 6cm $,则$ AD= $cm.

4

在等腰$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$AD$是底边上的高，所以$AD$垂直平分$BC$。
因为$BC=6\ cm$，所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3\ cm$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB=5\ cm$，$BD=3\ cm$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4\ cm$
4

3. 如图6,在$\triangle ABC $中,$ BC= \sqrt{6}+\sqrt{2} $,$ ∠C= 45^{\circ} $,$ AB= \sqrt{2}AC $,则AC的长为.

2

设$AC = x$，则$AB = \sqrt{2}x$。
过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle C = 45^{\circ}$，$AC = x$，
$\therefore AD = AC \cdot \sin 45^{\circ} = x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x$，
$CD = AC \cdot \cos 45^{\circ} = x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
$\because BC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，$\therefore BD = BC - CD = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
即$(\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + [(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2}x]^2 = (\sqrt{2}x)^2$。
展开并化简得：$\frac{1}{2}x^2 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})x + \frac{1}{2}x^2 = 2x^2$，
$x^2 + (6 + 2\sqrt{12} + 2) - (\sqrt{12} + \sqrt{4})x = 2x^2$，
$x^2 + 8 + 4\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 2)x = 2x^2$，
$x^2 + (2\sqrt{3} + 2)x - 8 - 4\sqrt{3} = 0$。
因式分解得：$(x - 2)(x + 4 + 2\sqrt{3}) = 0$，
解得$x = 2$或$x = -4 - 2\sqrt{3}$（舍去）。
$\therefore AC = 2$。
2

1. 如图7,在长方形ABCD中,$ AB= 5cm $,在CD上适当选定一点E,沿直线AE把$\triangle ADE $折叠,使点D恰好落在边BC上的点F处,且$\triangle ABF 的面积是 30cm^{2} $.
(1)求BF的长；
(2)求AD的长；
(3)求ED的长.

(1)12 cm
(2)13 cm
(3)2.6 cm