12. 如图所示,在线段AB上取中点$M_1,$在线段$AM_1$上取中点$M_2,$在线段$AM_2$上取中点$M_3……$依次取下去,得到线段AMₙ,则$AM_2=$$AB,AMₙ=$$AB($用含n的式子表示)。

$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{2^n}$

设$AB = a$，
因为$M_1$是$AB$的中点，
所以$AM_1=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$。
因为$M_2$是$AM_1$的中点，
所以$AM_2=\frac{1}{2}AM_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a = \frac{1}{2^2}a=\frac{1}{4}AB$。
因为$M_3$是$AM_2$的中点，
所以$AM_3=\frac{1}{2}AM_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}a=\frac{1}{2^3}a$。
以此类推，$AM_n=\frac{1}{2^n}AB$。

13. 已知点P在线段AB上,点E,F分别是AP和BP的中点。
(1)如果AP= 8,BP= 6,求线段EF的长。
(2)若线段AP= a,BP= b,求线段EF的长。
(3)若点P在线段AB的延长线上,线段AP= a,BP= b,线段EF的长有变化吗？请你通过计算说明。

(1)
因为点E是AP的中点，点F是BP的中点
所以$PE=\frac{1}{2}AP$，$PF=\frac{1}{2}BP$
已知$AP = 8$，$BP = 6$
则$PE=\frac{1}{2}×8 = 4$，$PF=\frac{1}{2}×6 = 3$
所以$EF=PE + PF=4 + 3=7$
(2)
因为点E是AP的中点，点F是BP的中点
所以$PE=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}a$，$PF=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}b$
则$EF=PE + PF=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a + b}{2}$
(3)
线段EF的长有变化。
因为点E是AP的中点，点F是BP的中点
所以$PE=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}a$，$PF=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}b$
此时$EF=PE - PF=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{a - b}{2}$
综上，(1)中$EF$长为$7$；(2)中$EF$长为$\frac{a + b}{2}$；(3)中$EF$长有变化，为$\frac{a - b}{2}$。

14. 如图,线段AB的中点O是数轴原点,点C在点O右侧,分线段AB的长度为3:2,且OC= 3。

(1)点A在数轴上代表的数是什么？请说明理由。
(2)若点P从点C出发,以3个单位长度/秒的速度向点A运动,到点A停止；点Q从点O出发,以1个单位长度/秒的速度向点B运动,到点B后停止。两点同时出发,运动时间t为几秒时,PA= QB？

(1)-15；(2)1.5或15。

(1)设线段$AB$的长度为$5x$，因为点$C$分线段$AB$的长度为$3:2$，且点$C$在点$O$右侧，所以$AC = 3x$，$CB=2x$。
因为$O$是$AB$的中点，所以$AO=OB=\frac{5x}{2}$。
又因为$OC = 3$，$OC=OB - CB$，所以$\frac{5x}{2}-2x=3$，解得$x = 6$。
则$AO=\frac{5×6}{2}=15$，因为点$A$在原点左侧，所以点$A$代表的数是$-15$。
(2)由
(1)知$AB = 30$，$AO=OB = 15$，$OC=3$，所以点$C$代表的数是$3$，点$B$代表的数是$15$。
点$P$从点$C$出发，速度为$3$个单位/秒，运动$t$秒后，$PC=3t$，$PA=AC - PC=AC-(3t)$，$AC=AO + OC=15 + 3=18$，所以$PA=18-3t$（$t\leqslant6$，因为$18÷3 = 6$）。
点$Q$从点$O$出发，速度为$1$个单位/秒，运动$t$秒后，$OQ=t$，$QB=OB - OQ=15 - t$（$t\leqslant15$，因为$15÷1 = 15$）。
当$PA=QB$时，$18-3t=15 - t$，解得$t = 1.5$；
当点$Q$到达点$B$后停止，此时$t\geqslant15$，$QB = 0$，令$PA=0$，即$18-3t=0$，$t = 6$（不合，舍去）；
当点$P$到达点$A$后停止，$t\geqslant6$，此时$PA=0$，令$QB=0$，$t = 15$，符合题意。
综上，$t=1.5$或$t = 15$。