13. 如图,在矩形ABCD中,$AD= 2,CD= 1$,连结AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形$AB_{1}C_{1}C$,再连结$AC_{1}$,以对角线$AC_{1}为边作矩形AB_{1}C_{1}C的相似矩形AB_{2}C_{2}C_{1}$……按此规律继续下去,则矩形$AB_{n}C_{n}C_{n-1}$的面积为.

2×(5/4)ⁿ

在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，面积S₀=2×1=2，对角线AC=√(2²+1²)=√5。
矩形AB₁C₁C与ABCD相似，相似比为对角线AC与原矩形对应边的比。原矩形长宽比为2:1，新矩形以AC为一边，设其邻边为x，由相似比得√5:x=2:1或x:√5=2:1，结合图形结构知新矩形邻边x=√5/2，面积S₁=√5×(√5/2)=5/2=2×(5/4)¹。
同理，后续矩形均以之前矩形的对角线为边作相似矩形，相似比平方为5/4（面积比），故第n个矩形面积Sₙ=2×(5/4)ⁿ。

14. 如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分$∠BAD$交BC于点E,过点E作$EF// AB$,交AD于点F,连结BF.
(1)求证:BF平分$∠ABC$.
(2)若$AB= 6$,且四边形$ABCD\backsim$四边形CEFD,求BC长.

(1)见证明；(2)$3+3\sqrt{5}$。

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC，AB=CD，
∵EF//AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AD//BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC；
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=6，AD=BC，
∵EF//AB，
∴四边形ABEF和四边形CEFD都是平行四边形，
由
(1)得：四边形ABEF是菱形，
∴AB=BE=EF=AF=6，
设EC=x，则BC=BE+EC=6+x，AD=BC=6+x，
∴FD=AD-AF=6+x-6=x，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{EF}，$即$\frac{6}{x}=\frac{6+x}{6}，$
整理得：$x^2 + 6x - 36 = 0，$
解得：$x=\frac{-6\pm\sqrt{36 + 144}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm6\sqrt{5}}{2}=-3\pm3\sqrt{5}，$
∵x＞0，
∴$x=-3 + 3\sqrt{5}，$
∴$BC=6+x=6 - 3 + 3\sqrt{5}=3 + 3\sqrt{5}。$

15. 如图,矩形草坪的长为a米,宽为b米($a＞b$),沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路.
(1)草坪的长与宽的比值$m= $,外围矩形的长与宽的比值$n= $.(用含有a,b,x的代数式表示)
(2)请比较m与n的大小.

(3)图中的两个矩形相似吗?为什么?

（1）$m = \frac{a}{b}$；$n = \frac{a + 2x}{b + 2x}$。
（2）$m - n=\frac{a}{b}-\frac{a + 2x}{b + 2x}=\frac{a(b + 2x)-b(a + 2x)}{b(b + 2x)}=\frac{ab+2ax - ab - 2bx}{b(b + 2x)}=\frac{2x(a - b)}{b(b + 2x)}$
因为$a\gt b\gt0$，$x\gt0$，所以$a - b\gt0$，$b(b + 2x)\gt0$，$2x(a - b)\gt0$，即$m - n\gt0$，所以$m\gt n$。
（3）两个矩形不相似。
若两个矩形相似，则对应边成比例，即$\frac{a}{b}=\frac{a + 2x}{b + 2x}$，由（2）知$\frac{a}{b}\neq\frac{a + 2x}{b + 2x}$，所以这两个矩形不相似。