13. A,C为半径是3的圆周上两点,B为$\widehat{AC}$的中点,以线段BA,BC为邻边作菱形ABCD,顶点D恰在该圆直径的三等分点上,则该菱形的边长为()
A.$\sqrt{5}或2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}或2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}或2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}或2\sqrt{3}$

D

设圆心为O，半径为3，圆方程x²+y²=9。B为弧AC中点，由垂径定理知OB垂直平分AC。设OB为y轴，B(0,3)，AC中点M(0,m)，A(-a,m)，C(a,m)，则a²+m²=9。菱形ABCD中，AC与BD互相平分，BD中点为M，设D(0,d)，则(3+d)/2=m，得d=2m-3。D为直径三等分点，直径长6，三等分点为(0,±1)，故d=1或d=-1。
当d=1时，2m-3=1，m=2。AB²=a²+(m-3)²=(9-m²)+(m-3)²=18-6m=18-12=6，AB=√6。
当d=-1时，2m-3=-1，m=1。AB²=18-6×1=12，AB=2√3。

14. 如图,⊙O的两条弦AB//CD(AB不是直径),E为AB的中点,连结EC,ED.
(1)直线EO与AB垂直吗？请说明理由.
(2)求证:EC= ED.

(1)垂直。理由：因为E为AB的中点，AB不是直径，根据垂径定理的推论，圆心O与弦AB中点E的连线垂直于弦AB，所以直线EO与AB垂直。
(2)证明：过点O作OF⊥CD于点F，连接OC，OD。
因为AB//CD，EO⊥AB，所以EO⊥CD，即直线EO经过点F。
由垂径定理得CF=DF。
在△ECF和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l} CF=DF \\ ∠CFE=∠DFE=90° \\ EF=EF\end{array}\right.$
所以△ECF≌△EDF(SAS)，故EC=ED。

15. 某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为7.2 m,拱顶高出水面2.4 m.现有一艘宽3 m,船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里,此货船能否顺利通过这座拱桥？

解：设圆弧拱桥所在圆的圆心为O，以水面为x轴，拱顶为点(0,2.4)，水面弦端点为(±3.6,0)。设圆心O(0,b)，半径为r。
由垂径定理及勾股定理得：
$\begin{cases}3.6^2 + b^2 = r^2 \\(2.4 - b)^2 = r^2\end{cases}$
联立解得：$3.6^2 + b^2 = (2.4 - b)^2$，展开得$12.96 + b^2 = 5.76 - 4.8b + b^2$，化简得$4.8b = -7.2$，$b = -1.5$。则$r = 2.4 - (-1.5) = 3.9$。
货船宽3米，两侧对应$x = ±1.5$。设此处拱桥高度为$y$，则：
$1.5^2 + (y + 1.5)^2 = 3.9^2$
解得$(y + 1.5)^2 = 15.21 - 2.25 = 12.96$，$y + 1.5 = 3.6$（取正值），$y = 2.1$。
因为$2.1 ＞ 2$，故此货船能顺利通过这座拱桥。
结论：能顺利通过。