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变式训练 计算：
(1)$(x^{5})^{2}\cdot x^{2}= $______
(2)$(a^{2n - 1})^{2}\cdot (a^{n + 1})^{3}= $______
(1)$(x^{5})^{2}\cdot x^{2}= $______
$x^{12}$
；(2)$(a^{2n - 1})^{2}\cdot (a^{n + 1})^{3}= $______
$a^{7n + 1}$
.答案
(1)$x^{12}$；(2)$a^{7n + 1}$
解析
(1) 根据幂的乘方运算法则，$(x^{5})^{2} = x^{5 × 2} = x^{10}$，
再根据同底数幂的乘法运算法则，$x^{10} \cdot x^{2} = x^{10+2} = x^{12}$。
(2) 根据幂的乘方运算法则，$(a^{2n - 1})^{2} = a^{(2n - 1) × 2} = a^{4n - 2}$，
同样，$(a^{n + 1})^{3} = a^{(n + 1) × 3} = a^{3n + 3}$，
再根据同底数幂的乘法运算法则，$a^{4n - 2} \cdot a^{3n + 3} = a^{4n - 2 + 3n + 3} = a^{7n + 1}$。
再根据同底数幂的乘法运算法则，$x^{10} \cdot x^{2} = x^{10+2} = x^{12}$。
(2) 根据幂的乘方运算法则，$(a^{2n - 1})^{2} = a^{(2n - 1) × 2} = a^{4n - 2}$，
同样，$(a^{n + 1})^{3} = a^{(n + 1) × 3} = a^{3n + 3}$，
再根据同底数幂的乘法运算法则，$a^{4n - 2} \cdot a^{3n + 3} = a^{4n - 2 + 3n + 3} = a^{7n + 1}$。
例2 (1)若$a^{3m}= 2$,求$a^{6m}+a^{4m}\cdot a^{5m}$的值.
(2)若$a^{m}= \frac{1}{2}$,$a^{n}= 4$,求$a^{3m + 2n}$的值.
名师导引 公式的逆用是数学中一种重要方法,在逆用公式时一定要弄清公式的结构特点. 解决此类问题通常是将指数的和的形式转化为同底数幂的乘法；将指数的积的形式转化为幂的乘方.
(2)若$a^{m}= \frac{1}{2}$,$a^{n}= 4$,求$a^{3m + 2n}$的值.
名师导引 公式的逆用是数学中一种重要方法,在逆用公式时一定要弄清公式的结构特点. 解决此类问题通常是将指数的和的形式转化为同底数幂的乘法；将指数的积的形式转化为幂的乘方.
答案
(1) 因为$a^{3m}=2$，所以：
$\begin{aligned}a^{6m}&=(a^{3m})^2=2^2=4\\a^{4m}\cdot a^{5m}&=a^{4m + 5m}=a^{9m}=(a^{3m})^3=2^3=8\\a^{6m}+a^{4m}\cdot a^{5m}&=4 + 8=12\end{aligned}$
(2) 因为$a^m=\frac{1}{2}$，$a^n=4$，所以：
$\begin{aligned}a^{3m}&=(a^m)^3=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}\\a^{2n}&=(a^n)^2=4^2=16\\a^{3m + 2n}&=a^{3m}\cdot a^{2n}=\frac{1}{8}×16=2\end{aligned}$
(1) 12；(2) 2
$\begin{aligned}a^{6m}&=(a^{3m})^2=2^2=4\\a^{4m}\cdot a^{5m}&=a^{4m + 5m}=a^{9m}=(a^{3m})^3=2^3=8\\a^{6m}+a^{4m}\cdot a^{5m}&=4 + 8=12\end{aligned}$
(2) 因为$a^m=\frac{1}{2}$，$a^n=4$，所以：
$\begin{aligned}a^{3m}&=(a^m)^3=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}\\a^{2n}&=(a^n)^2=4^2=16\\a^{3m + 2n}&=a^{3m}\cdot a^{2n}=\frac{1}{8}×16=2\end{aligned}$
(1) 12；(2) 2
变式训练 (1)若$2^{x}= 3$,$2^{y}= 6$,则$2^{2x + y}= $
(2)若$(a^{2})^{3}\cdot a = 128$,则$a= $
54
.(2)若$(a^{2})^{3}\cdot a = 128$,则$a= $
2
.答案
(1)54；(2)2
解析
(1)
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$以及同底数幂的乘法运算法则$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$，对$2^{2x + y}$进行变形：
$2^{2x + y}=2^{2x}\cdot2^{y}$，
由$2^{x}=3$，根据幂的乘方可得$2^{2x}=(2^{x})^2 = 3^2 = 9$，
又因为$2^{y}=6$，所以$2^{2x}\cdot2^{y}=9×6 = 54$。
(2)
先根据幂的乘方运算法则化简$(a^{2})^{3}$，$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$，
则$(a^{2})^{3}\cdot a=a^{6}\cdot a$，
再根据同底数幂的乘法运算法则$a^{6}\cdot a=a^{6 + 1}=a^{7}$，
因为$a^{7}=128$，而$128 = 2^7$，所以$a = 2$。
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$以及同底数幂的乘法运算法则$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$，对$2^{2x + y}$进行变形：
$2^{2x + y}=2^{2x}\cdot2^{y}$，
由$2^{x}=3$，根据幂的乘方可得$2^{2x}=(2^{x})^2 = 3^2 = 9$，
又因为$2^{y}=6$，所以$2^{2x}\cdot2^{y}=9×6 = 54$。
(2)
先根据幂的乘方运算法则化简$(a^{2})^{3}$，$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$，
则$(a^{2})^{3}\cdot a=a^{6}\cdot a$，
再根据同底数幂的乘法运算法则$a^{6}\cdot a=a^{6 + 1}=a^{7}$，
因为$a^{7}=128$，而$128 = 2^7$，所以$a = 2$。
1. 计算$-(x^{3})^{4}$的结果是(
A.$-x^{7}$
B.$x^{7}$
C.$x^{12}$
D.$-x^{12}$
D
)A.$-x^{7}$
B.$x^{7}$
C.$x^{12}$
D.$-x^{12}$
答案
D
解析
根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(x^{3})^{4} = x^{3 × 4} = x^{12}$，再考虑负号，$-(x^{3})^{4} = -x^{12}$。
2. 下列计算正确的是(
A.$4a - 2a = 2$
B.$a^{2}\cdot a^{4}= a^{8}$
C.$(a^{3})^{2}= a^{6}$
D.$(a^{3})^{2}= a^{5}$
C
)A.$4a - 2a = 2$
B.$a^{2}\cdot a^{4}= a^{8}$
C.$(a^{3})^{2}= a^{6}$
D.$(a^{3})^{2}= a^{5}$
答案
C
解析
A. 对于 $4a - 2a$，根据合并同类项的法则，结果为 $2a$，与给出的 $2$ 不符，所以A选项错误。
B. 对于 $a^{2} \cdot a^{4}$，根据同底数幂的乘法法则，结果为 $a^{2+4} = a^{6}$，与给出的 $a^{8}$ 不符，所以B选项错误。
C. 对于 $(a^{3})^{2}$，根据幂的乘方法则，结果为 $a^{3 × 2} = a^{6}$，与题目中给出的 $a^{6}$ 相符，所以C选项正确。
D. 对于 $(a^{3})^{2}$，根据幂的乘方法则，结果为 $a^{6}$，与给出的 $a^{5}$ 不符，所以D选项错误。
B. 对于 $a^{2} \cdot a^{4}$，根据同底数幂的乘法法则，结果为 $a^{2+4} = a^{6}$，与给出的 $a^{8}$ 不符，所以B选项错误。
C. 对于 $(a^{3})^{2}$，根据幂的乘方法则，结果为 $a^{3 × 2} = a^{6}$，与题目中给出的 $a^{6}$ 相符，所以C选项正确。
D. 对于 $(a^{3})^{2}$，根据幂的乘方法则，结果为 $a^{6}$，与给出的 $a^{5}$ 不符，所以D选项错误。
3. 填空：
$(-a^{3})^{2}=$
$(m^{2})^{6}\cdot m^{3}=$
$(x^{m})^{3}\cdot x=$
$[(a - b)^{2}]^{3}\cdot (a - b)^{4}=$
$(-a^{3})^{2}=$
$a^{6}$
；$(m^{2})^{6}\cdot m^{3}=$
$m^{15}$
；$(x^{m})^{3}\cdot x=$
$x^{3m + 1}$
；$[(a - b)^{2}]^{3}\cdot (a - b)^{4}=$
$(a - b)^{10}$
.答案
$a^{6}$；$m^{15}$；$x^{3m + 1}$；$(a - b)^{10}$
解析
1. 对于$(-a^{3})^{2}$，根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(-a^{3})^{2}=(-1)^2×(a^{3})^{2}=a^{6}$。
2. 对于$(m^{2})^{6}\cdot m^{3}$，先根据幂的乘方运算法则计算$(m^{2})^{6}=m^{2×6}=m^{12}$，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$(m^{2})^{6}\cdot m^{3}=m^{12}\cdot m^{3}=m^{12 + 3}=m^{15}$。
3. 对于$(x^{m})^{3}\cdot x$，先根据幂的乘方运算法则计算$(x^{m})^{3}=x^{3m}$，再根据同底数幂相乘的法则，可得$(x^{m})^{3}\cdot x=x^{3m}\cdot x=x^{3m + 1}$。
4. 对于$[(a - b)^{2}]^{3}\cdot (a - b)^{4}$，先根据幂的乘方运算法则计算$[(a - b)^{2}]^{3}=(a - b)^{2×3}=(a - b)^{6}$，再根据同底数幂相乘的法则，可得$[(a - b)^{2}]^{3}\cdot (a - b)^{4}=(a - b)^{6}\cdot (a - b)^{4}=(a - b)^{6 + 4}=(a - b)^{10}$。
2. 对于$(m^{2})^{6}\cdot m^{3}$，先根据幂的乘方运算法则计算$(m^{2})^{6}=m^{2×6}=m^{12}$，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$(m^{2})^{6}\cdot m^{3}=m^{12}\cdot m^{3}=m^{12 + 3}=m^{15}$。
3. 对于$(x^{m})^{3}\cdot x$，先根据幂的乘方运算法则计算$(x^{m})^{3}=x^{3m}$，再根据同底数幂相乘的法则，可得$(x^{m})^{3}\cdot x=x^{3m}\cdot x=x^{3m + 1}$。
4. 对于$[(a - b)^{2}]^{3}\cdot (a - b)^{4}$，先根据幂的乘方运算法则计算$[(a - b)^{2}]^{3}=(a - b)^{2×3}=(a - b)^{6}$，再根据同底数幂相乘的法则，可得$[(a - b)^{2}]^{3}\cdot (a - b)^{4}=(a - b)^{6}\cdot (a - b)^{4}=(a - b)^{6 + 4}=(a - b)^{10}$。
4. (1)若$(8^{n})^{3}= 2^{18}$,那么$n$的值是
(2)已知：$x^{m}= 2$,$x^{n}= 3$,则$x^{3m + 2n}= $
(3)若$x^{2m}= 2$,$y^{3n}= 3$,则$(x^{2m})^{3}+(y^{2n})^{3}-x^{2m}y^{3n}= $
2
.(2)已知：$x^{m}= 2$,$x^{n}= 3$,则$x^{3m + 2n}= $
72
.(3)若$x^{2m}= 2$,$y^{3n}= 3$,则$(x^{2m})^{3}+(y^{2n})^{3}-x^{2m}y^{3n}= $
11
.答案
(1)2；(2)72；(3)11
解析
(1) $(8^{n})^{3}=8^{3n}=(2^{3})^{3n}=2^{9n}=2^{18}$，则$9n=18$，解得$n=2$。
(2) $x^{3m + 2n}=x^{3m} \cdot x^{2n}=(x^{m})^{3} \cdot (x^{n})^{2}=2^{3} \cdot 3^{2}=8 \cdot 9=72$。
(3) $(x^{2m})^{3}=2^{3}=8$，$(y^{3n})^{\frac{2}{3} × 3}=(y^{3n})^{2}=3^{2}=9$（此处修正：$(y^{2n})^{3}=(y^{3n})^{\frac{2}{3} × 3}=(y^{3n})^{2}=3^{2}=9$），$x^{2m}y^{3n}=2 × 3=6$，所以原式$=8 + 9 - 6=11$。
(2) $x^{3m + 2n}=x^{3m} \cdot x^{2n}=(x^{m})^{3} \cdot (x^{n})^{2}=2^{3} \cdot 3^{2}=8 \cdot 9=72$。
(3) $(x^{2m})^{3}=2^{3}=8$，$(y^{3n})^{\frac{2}{3} × 3}=(y^{3n})^{2}=3^{2}=9$（此处修正：$(y^{2n})^{3}=(y^{3n})^{\frac{2}{3} × 3}=(y^{3n})^{2}=3^{2}=9$），$x^{2m}y^{3n}=2 × 3=6$，所以原式$=8 + 9 - 6=11$。
5. 计算：
(1)$(y^{2})^{3}+(y^{3})^{2}-y\cdot y^{5}$；
(2)$(a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}\cdot (-a^{2})^{3}$；
(3)$[(a + b)^{2}]^{3}\cdot [(a + b)^{2}]^{4}$；
(4)$[(x - y)^{3}]^{2}\cdot [(y - x)^{3}]^{2}$；
(5)$-a^{6}\cdot a^{5}\cdot a + 5(a^{3})^{4}-3(a^{3})^{3}\cdot a^{2}\cdot a$.
(1)$(y^{2})^{3}+(y^{3})^{2}-y\cdot y^{5}$；
(2)$(a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}\cdot (-a^{2})^{3}$；
(3)$[(a + b)^{2}]^{3}\cdot [(a + b)^{2}]^{4}$；
(4)$[(x - y)^{3}]^{2}\cdot [(y - x)^{3}]^{2}$；
(5)$-a^{6}\cdot a^{5}\cdot a + 5(a^{3})^{4}-3(a^{3})^{3}\cdot a^{2}\cdot a$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(y^{2})^{3}+(y^{3})^{2}-y\cdot y^{5}\\=&y^{2×3}+y^{3×2}-y^{1 + 5}\\=&y^{6}+y^{6}-y^{6}\\=&y^{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}\cdot (-a^{2})^{3}\\=&a^{2×3}\cdot a^{3×2}\cdot(-a^{2×3})\\=&a^{6}\cdot a^{6}\cdot(-a^{6})\\=& -a^{6 + 6+6}\\=& -a^{18}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&[(a + b)^{2}]^{3}\cdot [(a + b)^{2}]^{4}\\=&(a + b)^{2×3}\cdot(a + b)^{2×4}\\=&(a + b)^{6}\cdot(a + b)^{8}\\=&(a + b)^{6 + 8}\\=&(a + b)^{14}\end{aligned}$
(4)
因为$(y - x)^{3}=-(x - y)^{3}$，所以$[(y - x)^{3}]^{2}=[-(x - y)^{3}]^{2}=(x - y)^{6}$。
$\begin{aligned}&[(x - y)^{3}]^{2}\cdot [(y - x)^{3}]^{2}\\=&(x - y)^{3×2}\cdot(x - y)^{6}\\=&(x - y)^{6}\cdot(x - y)^{6}\\=&(x - y)^{6 + 6}\\=&(x - y)^{12}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&-a^{6}\cdot a^{5}\cdot a + 5(a^{3})^{4}-3(a^{3})^{3}\cdot a^{2}\cdot a\\=&-a^{6 + 5+1}+5a^{3×4}-3a^{3×3}\cdot a^{2 + 1}\\=&-a^{12}+5a^{12}-3a^{9}\cdot a^{3}\\=&-a^{12}+5a^{12}-3a^{12}\\=&(-1 + 5-3)a^{12}\\=&a^{12}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(y^{2})^{3}+(y^{3})^{2}-y\cdot y^{5}\\=&y^{2×3}+y^{3×2}-y^{1 + 5}\\=&y^{6}+y^{6}-y^{6}\\=&y^{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}\cdot (-a^{2})^{3}\\=&a^{2×3}\cdot a^{3×2}\cdot(-a^{2×3})\\=&a^{6}\cdot a^{6}\cdot(-a^{6})\\=& -a^{6 + 6+6}\\=& -a^{18}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&[(a + b)^{2}]^{3}\cdot [(a + b)^{2}]^{4}\\=&(a + b)^{2×3}\cdot(a + b)^{2×4}\\=&(a + b)^{6}\cdot(a + b)^{8}\\=&(a + b)^{6 + 8}\\=&(a + b)^{14}\end{aligned}$
(4)
因为$(y - x)^{3}=-(x - y)^{3}$，所以$[(y - x)^{3}]^{2}=[-(x - y)^{3}]^{2}=(x - y)^{6}$。
$\begin{aligned}&[(x - y)^{3}]^{2}\cdot [(y - x)^{3}]^{2}\\=&(x - y)^{3×2}\cdot(x - y)^{6}\\=&(x - y)^{6}\cdot(x - y)^{6}\\=&(x - y)^{6 + 6}\\=&(x - y)^{12}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&-a^{6}\cdot a^{5}\cdot a + 5(a^{3})^{4}-3(a^{3})^{3}\cdot a^{2}\cdot a\\=&-a^{6 + 5+1}+5a^{3×4}-3a^{3×3}\cdot a^{2 + 1}\\=&-a^{12}+5a^{12}-3a^{9}\cdot a^{3}\\=&-a^{12}+5a^{12}-3a^{12}\\=&(-1 + 5-3)a^{12}\\=&a^{12}\end{aligned}$
6. (1)已知$3×9^{m}×27^{m}= 3^{16}$,求$m$的值.
(2)若$2x + 5y - 3 = 0$,求$4^{x}\cdot 32^{y}$的值.
(2)若$2x + 5y - 3 = 0$,求$4^{x}\cdot 32^{y}$的值.
答案
(1)
$\begin{aligned}3×9^{m}×27^{m}&=3×(3^2)^m×(3^3)^m\\&=3×3^{2m}×3^{3m}\\&=3^{1 + 2m + 3m}\\&=3^{1 + 5m}\end{aligned}$
因为$3×9^{m}×27^{m}=3^{16}$，所以$3^{1 + 5m}=3^{16}$，则$1 + 5m = 16$，解得$m = 3$。
(2)
$\begin{aligned}4^{x}·32^{y}&=(2^2)^x·(2^5)^y\\&=2^{2x}·2^{5y}\\&=2^{2x + 5y}\end{aligned}$
因为$2x + 5y - 3 = 0$，所以$2x + 5y = 3$，则$4^{x}·32^{y}=2^{3}=8$。
(1) $m = 3$；(2) $8$
$\begin{aligned}3×9^{m}×27^{m}&=3×(3^2)^m×(3^3)^m\\&=3×3^{2m}×3^{3m}\\&=3^{1 + 2m + 3m}\\&=3^{1 + 5m}\end{aligned}$
因为$3×9^{m}×27^{m}=3^{16}$，所以$3^{1 + 5m}=3^{16}$，则$1 + 5m = 16$，解得$m = 3$。
(2)
$\begin{aligned}4^{x}·32^{y}&=(2^2)^x·(2^5)^y\\&=2^{2x}·2^{5y}\\&=2^{2x + 5y}\end{aligned}$
因为$2x + 5y - 3 = 0$，所以$2x + 5y = 3$，则$4^{x}·32^{y}=2^{3}=8$。
(1) $m = 3$；(2) $8$
7. $3^{1}$的末位数字是3,$3^{2}$的末位数字是9,$3^{3}$的末位数字是7,$3^{4}$的末位数字是1,$3^{5}$的末位数字是3,……观察发现,$3^{4n + 1}= (3^{4})^{n}×3$, ∵ $3^{4}$的末位数字是1, ∴ $(3^{4})^{n}$的末位数字是1, ∴ $(3^{4})^{n}×3$的末位数字是3. 同理可知,$3^{4n + 2}$的末位数字是9,$3^{4n + 3}$的末位数字是7. 解答下列问题：
(1)$3^{2024}$的末位数字是
(2)求$2^{2024}$的末位数字；
(3)求证：$12^{2024}+37^{2026}$能被5整除.
(1)$3^{2024}$的末位数字是
1
,$14^{2022}$的末位数字是6
；(2)求$2^{2024}$的末位数字；
6
(3)求证：$12^{2024}+37^{2026}$能被5整除.
正确
答案
(1)$1$，$6$；
(2)解（同解析（2））$6$；
(3)证明（同解析（3））成立（填“（此空填证明成立对应的表述，按要求只写结果）正确”之类的合理表述 ）。 （按照题目要求，第三问只写证明结果相关，本答案第三问填写“正确”） 。 整体答案为(1)$1$，$6$；(2)$6$；(3)正确。
(2)解（同解析（2））$6$；
(3)证明（同解析（3））成立（填“（此空填证明成立对应的表述，按要求只写结果）正确”之类的合理表述 ）。 （按照题目要求，第三问只写证明结果相关，本答案第三问填写“正确”） 。 整体答案为(1)$1$，$6$；(2)$6$；(3)正确。
解析
（1）对于$3^{2024}$：
因为$2024 = 4×506$，根据$3^{4n}$的末位数字是$1$，所以$3^{2024}$的末位数字是$1$。
对于$14^{2022}$，因为只考虑末位数字，$14$的末位数字是$4$，$4$的幂次末位数字规律为$4,6,4,6\cdots$，$2022 = 2×1011$，所以$14^{2022}$的末位数字与$4^{2}$末位数字相同，为$6$。
（2）对于$2^{2024}$，$2$的幂次末位数字规律为$2,4,8,6,2,4,8,6\cdots$，$2024 = 4×506$，所以$2^{2024}$的末位数字是$6$。
（3）对于$12^{2024}+37^{2026}$，$12$的任何正整数次幂的末位数字与$2$的同次幂末位数字规律相同，$2024 = 4×506$，$12^{2024}$的末位数字是$6$；$37$的任何正整数次幂的末位数字与$7$的同次幂末位数字规律相同，$2026 = 4×506+2$，$37^{2026}$的末位数字是$9$，$6 + 9 = 15$，末位数字是$5$，所以$12^{2024}+37^{2026}$能被$5$整除。
因为$2024 = 4×506$，根据$3^{4n}$的末位数字是$1$，所以$3^{2024}$的末位数字是$1$。
对于$14^{2022}$，因为只考虑末位数字，$14$的末位数字是$4$，$4$的幂次末位数字规律为$4,6,4,6\cdots$，$2022 = 2×1011$，所以$14^{2022}$的末位数字与$4^{2}$末位数字相同，为$6$。
（2）对于$2^{2024}$，$2$的幂次末位数字规律为$2,4,8,6,2,4,8,6\cdots$，$2024 = 4×506$，所以$2^{2024}$的末位数字是$6$。
（3）对于$12^{2024}+37^{2026}$，$12$的任何正整数次幂的末位数字与$2$的同次幂末位数字规律相同，$2024 = 4×506$，$12^{2024}$的末位数字是$6$；$37$的任何正整数次幂的末位数字与$7$的同次幂末位数字规律相同，$2026 = 4×506+2$，$37^{2026}$的末位数字是$9$，$6 + 9 = 15$，末位数字是$5$，所以$12^{2024}+37^{2026}$能被$5$整除。
