8. (1)如图①,AB//CD,E是在AB,CD之间,且在BD的左侧平面区域内一点,连接
BE,DE.求证:∠E= ∠ABE+∠CDE.
(2)如图②,在(1)的条件下,作出∠EBD和∠EDB的平分线,两线交于点F,猜想
∠F,∠ABE,∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.

(1)证明：过点E作EF//AB。
∵AB//CD，∴EF//CD（平行于同一直线的两直线平行）。
∵EF//AB，∴∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等）。
∵EF//CD，∴∠CDE=∠DEF（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∴∠BED=∠ABE+∠CDE。
(2)猜想：∠F=90°+1/2(∠ABE+∠CDE)。
证明：设∠ABE=α，∠CDE=β，由(1)得∠BED=α+β。
在△BED中，∠EBD+∠EDB+∠BED=180°（三角形内角和定理），
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-(α+β)。
∵BF平分∠EBD，DF平分∠EDB，
∴∠FBD=1/2∠EBD，∠FDB=1/2∠EDB（角平分线定义）。
∴∠FBD+∠FDB=1/2(∠EBD+∠EDB)=1/2(180°-α-β)=90°-1/2(α+β)。
在△BFD中，∠F=180°-(∠FBD+∠FDB)=180°-[90°-1/2(α+β)]=90°+1/2(α+β)。
即∠F=90°+1/2(∠ABE+∠CDE)。

9. 已知AB//CD,P为直线AB上方一点.
(1)如图①,求证:∠A= ∠P+∠C；
(2)如图②,CE平分∠PCD,过点P作CE的平行线交∠PAB的平分线于点Q,探
究∠Q与∠APC之间的关系,并说明理由；
(3)在(2)的条件下,若CE经过点A,∠APC+∠PCE= 105°,M是直线PC上一
点,请直接写出∠BAM,∠APC和∠AMC的数量关系.

(1) 过点P作PE//AB，∵AB//CD，∴PE//CD。∴∠PAB=∠APE（两直线平行，内错角相等），∠PCD=∠CPE（两直线平行，内错角相等）。∵∠APC=∠APE-∠CPE，∴∠APE=∠APC+∠CPE。∴∠PAB=∠APC+∠PCD，即∠A=∠P+∠C。
(2) ∠APC=2∠Q。理由如下：设∠PAB平分线为AQ，∠PCD平分线为CE，∴∠PAQ=1/2∠PAB，∠PCE=1/2∠PCD。过P作PF//CE，∴∠FPC=∠PCE=1/2∠PCD（两直线平行，内错角相等）。由(1)知∠PAB=∠APC+∠PCD，设∠PAQ=α，∠PCE=β，则∠PAB=2α，∠PCD=2β，∴2α=∠APC+2β，即∠APC=2(α-β)。过Q作QH//AB，∵AB//CD，∴QH//CD，∴∠AQH=∠BAQ=α（内错角），∠HQP=∠FPC=β（内错角）。∴∠AQP=∠AQH-∠HQP=α-β，∴∠APC=2∠AQP，即∠APC=2∠Q。
(3) ∠BAM+∠APC-∠AMC=105°或∠BAM+∠AMC+∠APC=105°。