登录
6. 某射击小组20人在一次射击训练中的成绩如图所示.
(1)求该小组这次射击的平均成绩；
(2)求这组数据的中位数和众数.
(1)求该小组这次射击的平均成绩；
(2)求这组数据的中位数和众数.
答案
1. （1）求平均成绩：
解：根据加权平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$（其中$x_{i}$表示成绩，$f_{i}$表示对应成绩的人数）。
这里$x_1 = 5$，$f_1 = 1$；$x_2 = 6$，$f_2 = 2$；$x_3 = 7$，$f_3 = 7$；$x_4 = 8$，$f_4 = 6$；$x_5 = 9$，$f_5 = 3$；$x_6 = 10$，$f_6 = 1$。
则$\bar{x}=\frac{5×1 + 6×2+7×7+8×6+9×3+10×1}{1 + 2+7+6+3+1}$
先计算分子：$5×1 + 6×2+7×7+8×6+9×3+10×1=5 + 12+49+48+27+10$
$5 + 12+49+48+27+10=(5 + 12)+49+(48+27)+10=17+49+75+10=(17+49)+75+10=66+75+10=151$。
分母$1 + 2+7+6+3+1 = 20$。
所以$\bar{x}=\frac{151}{20}=7.55$（环）。
2. （2）求中位数和众数：
解：
求中位数**：
一共有$n = 20$个数据，$n$为偶数，中位数是第$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数。
把数据从小到大排列：$5$，$6$，$6$，$7$，$7$，$\cdots$，$7$（$7$个$7$），$8$，$8$，$\cdots$，$8$（$6$个$8$），$9$，$9$，$9$，$10$。
第$10$个和第$11$个数据都是$7$和$8$，则中位数$M=\frac{7 + 8}{2}=7.5$。
求众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
由图可知成绩为$7$环的人数最多，为$7$人，所以众数$m = 7$。
综上，（1）平均成绩是$7.55$环；（2）中位数是$7.5$，众数是$7$。
解：根据加权平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$（其中$x_{i}$表示成绩，$f_{i}$表示对应成绩的人数）。
这里$x_1 = 5$，$f_1 = 1$；$x_2 = 6$，$f_2 = 2$；$x_3 = 7$，$f_3 = 7$；$x_4 = 8$，$f_4 = 6$；$x_5 = 9$，$f_5 = 3$；$x_6 = 10$，$f_6 = 1$。
则$\bar{x}=\frac{5×1 + 6×2+7×7+8×6+9×3+10×1}{1 + 2+7+6+3+1}$
先计算分子：$5×1 + 6×2+7×7+8×6+9×3+10×1=5 + 12+49+48+27+10$
$5 + 12+49+48+27+10=(5 + 12)+49+(48+27)+10=17+49+75+10=(17+49)+75+10=66+75+10=151$。
分母$1 + 2+7+6+3+1 = 20$。
所以$\bar{x}=\frac{151}{20}=7.55$（环）。
2. （2）求中位数和众数：
解：
求中位数**：
一共有$n = 20$个数据，$n$为偶数，中位数是第$\frac{n}{2}$和$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数。
把数据从小到大排列：$5$，$6$，$6$，$7$，$7$，$\cdots$，$7$（$7$个$7$），$8$，$8$，$\cdots$，$8$（$6$个$8$），$9$，$9$，$9$，$10$。
第$10$个和第$11$个数据都是$7$和$8$，则中位数$M=\frac{7 + 8}{2}=7.5$。
求众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
由图可知成绩为$7$环的人数最多，为$7$人，所以众数$m = 7$。
综上，（1）平均成绩是$7.55$环；（2）中位数是$7.5$，众数是$7$。
7. 下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表.
|成绩/分|30|25|20|15|
|人数|2|x|y|1|
若成绩的平均数为23,中位数是a,众数是b,则a-b的值是______
|成绩/分|30|25|20|15|
|人数|2|x|y|1|
若成绩的平均数为23,中位数是a,众数是b,则a-b的值是______
2.5
.答案
2.5
解析
由题意得：$2+x+y+1=10$，即$x+y=7$。
平均数为23，可得：$\frac{30×2 + 25x + 20y + 15×1}{10}=23$，化简得$25x + 20y=155$，即$5x + 4y=31$。
联立方程组$\begin{cases}x + y=7\\5x + 4y=31\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$。
成绩按从小到大排列：15，20，20，20，20，25，25，25，30，30。
中位数$a=\frac{20 + 25}{2}=22.5$，众数$b=20$。
$a - b=22.5 - 20=2.5$
2.5
平均数为23，可得：$\frac{30×2 + 25x + 20y + 15×1}{10}=23$，化简得$25x + 20y=155$，即$5x + 4y=31$。
联立方程组$\begin{cases}x + y=7\\5x + 4y=31\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$。
成绩按从小到大排列：15，20，20，20，20，25，25，25，30，30。
中位数$a=\frac{20 + 25}{2}=22.5$，众数$b=20$。
$a - b=22.5 - 20=2.5$
2.5
8. 在一组数据2,3,4,x中,若中位数与平均数相同,求x的值.
答案
情况1：当$x \leq 2$时，数据排序为$x,2,3,4$，中位数为$\frac{2+3}{2}=2.5$。平均数$\frac{2+3+4+x}{4}=\frac{9+x}{4}$，令$\frac{9+x}{4}=2.5$，解得$x=1$。
情况2：当$2 ＜ x \leq 3$时，数据排序为$2,x,3,4$，中位数为$\frac{x+3}{2}$。令$\frac{x+3}{2}=\frac{9+x}{4}$，解得$x=3$。
情况3：当$3 ＜ x \leq 4$时，数据排序为$2,3,x,4$，中位数为$\frac{3+x}{2}$。令$\frac{3+x}{2}=\frac{9+x}{4}$，解得$x=3$（不合题意，舍去）。
情况4：当$x ＞ 4$时，数据排序为$2,3,4,x$，中位数为$\frac{3+4}{2}=3.5$。令$\frac{9+x}{4}=3.5$，解得$x=5$。
综上，$x$的值为$1$或$3$或$5$。
情况2：当$2 ＜ x \leq 3$时，数据排序为$2,x,3,4$，中位数为$\frac{x+3}{2}$。令$\frac{x+3}{2}=\frac{9+x}{4}$，解得$x=3$。
情况3：当$3 ＜ x \leq 4$时，数据排序为$2,3,x,4$，中位数为$\frac{3+x}{2}$。令$\frac{3+x}{2}=\frac{9+x}{4}$，解得$x=3$（不合题意，舍去）。
情况4：当$x ＞ 4$时，数据排序为$2,3,4,x$，中位数为$\frac{3+4}{2}=3.5$。令$\frac{9+x}{4}=3.5$，解得$x=5$。
综上，$x$的值为$1$或$3$或$5$。
9. 在四个互不相等的正整数中,最大的数是8,中位数是4,求这四个数.(按从小到大的顺序排列)
答案
1. 设四个互不相等的正整数从小到大排列为$a$，$b$，$c$，$d$，由题意得$d=8$，且中位数为4，即$\frac{b+c}{2}=4$，故$b+c=8$。
2. 因为$a ＜ b ＜ c ＜ d=8$，且$a$，$b$，$c$为正整数，$b ＜ c$，所以$b$，$c$可能的组合为：
当$b=2$时，$c=6$，此时$a ＜ 2$，$a=1$，四个数为$1$，$2$，$6$，$8$；
当$b=3$时，$c=5$，此时$a ＜ 3$，$a=1$或$2$，四个数为$1$，$3$，$5$，$8$或$2$，$3$，$5$，$8$。
3. 综上，这四个数为$1$，$2$，$6$，$8$或$1$，$3$，$5$，$8$或$2$，$3$，$5$，$8$。
2. 因为$a ＜ b ＜ c ＜ d=8$，且$a$，$b$，$c$为正整数，$b ＜ c$，所以$b$，$c$可能的组合为：
当$b=2$时，$c=6$，此时$a ＜ 2$，$a=1$，四个数为$1$，$2$，$6$，$8$；
当$b=3$时，$c=5$，此时$a ＜ 3$，$a=1$或$2$，四个数为$1$，$3$，$5$，$8$或$2$，$3$，$5$，$8$。
3. 综上，这四个数为$1$，$2$，$6$，$8$或$1$，$3$，$5$，$8$或$2$，$3$，$5$，$8$。
