6. 如图,DE//BC,EF//CG,AD：AB= 1:3,AE= 3.
(1)求EC的值；
(2)求证：AD·AG= AF·AB.

(1)∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∴AD/AB = AE/AC。
∵AD:AB=1:3，AE=3，设AC=x，则3/x=1/3，解得x=9。
∴EC=AC - AE=9 - 3=6。
(2)∵EF//CG，∴△AFE∽△AGC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∴AF/AG = AE/AC。
由(1)知AE/AC=1/3，∴AF/AG=1/3。
又∵AD/AB=1/3，∴AD/AB=AF/AG。
∴AD·AG=AF·AB。

7. 如图,在△ABC中,∠ABC= 135°,过点B作AB的垂线交AC于点P,若$\frac{CP}{PA}= \frac{1}{2}$,PB= 2,求BC的长.

过点C作CQ⊥BP，交BP的延长线于点Q。
∵BP⊥AB，CQ⊥BP，∴∠ABP=∠CQP=90°，CQ//AB。
∴∠CPQ=∠APB（对顶角相等），∠CQP=∠ABP=90°，∴△CQP∽△ABP（AA）。
∵$\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}$，∴相似比为$\frac{1}{2}$，∴$\frac{PQ}{BP}=\frac{1}{2}$，$\frac{CQ}{AB}=\frac{1}{2}$。
∵PB=2，∴PQ=$\frac{1}{2}BP=1$，∴BQ=BP+PQ=2+1=3。
∵∠ABC=135°，∠ABP=90°，∴∠PBC=∠ABC - ∠ABP=135° - 90°=45°。
在Rt△BQC中，∠BQC=90°，∠PBC=45°，∴∠BCQ=45°，∴△BQC为等腰直角三角形，∴CQ=BQ=3。
∴BC=$\sqrt{BQ^2 + CQ^2}=\sqrt{3^2 + 3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
$3\sqrt{2}$

8. 如图,A,B两点的坐标分别是(8,0),(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O做匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t s(0＜t＜$\frac{10}{3}$).解答如下问题：
(1)当t为何值时,PQ//BO？
(2)设△AQP的面积为S.
① 求S与t之间的函数表达式,并求出S的最大值；
② 若我们规定：点P,Q的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),则新坐标(x_2-x_1,y_2-y_1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.

(1) ∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6,AB=√(8²+6²)=10.
Q在AO上,AQ=2t,∴Q(8-2t,0).
P在BA上,BP=3t,AP=10-3t.
∵PQ//BO,∴△APQ∽△ABO,
∴AQ/AO=AP/AB,即2t/8=(10-3t)/10,
解得t=20/11.
(2)①Q(8-2t,0),P点坐标:由BA直线方程y=-3/4x+6,BP=3t,
得P(12t/5,6-9t/5).
△AQP中,AQ=2t,高为P的纵坐标6-9t/5,
∴S=1/2·2t·(6-9t/5)=-9/5t²+6t.
∵a=-9/5＜0,对称轴t=-6/(2×(-9/5))=5/3,
∴S_max=-9/5×(5/3)²+6×5/3=5.
②当t=5/3时,Q(8-2×5/3,0)=(14/3,0),P(12×5/3/5,6-9×5/3/5)=(4,3).
向量PQ=(14/3-4,0-3)=(2/3,-3).
答案:(1)20/11；(2)①S=-9/5t²+6t，最大值5；②(2/3,-3)