24. (本小题12分)在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 12$,$BC= 9$.
(1)求AB的长;
(2)D为CB上的一点,将$\triangle ACD$沿直线AD翻折,点C恰好落在边AB上的点E处.请利用无刻度的直尺和圆规作出点D(不写作法,保留作图痕迹),并求出CD的长.

（1）因为$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = 12$，$BC = 9$，
所以由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$。
（2）作图：以A为圆心，AC为半径画弧交AB于E，作$\angle EAC$的角平分线交BC于D。
因为翻折，
所以$AE = AC = 12$，$CD = DE$，
$BE=AB-AE=3$。
设$CD = x$，则$DE = x$，$BD = 9 - x$，
在$Rt \bigtriangleup BDE$中，由勾股定理，得：
$x^2 + 3^2 = (9 - x)^2$，
解得$x = 4$，
即$CD = 4$。

25. (本小题13分)如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点D在边AB上,$DE// BC$交AC于点E.
(1)求证:$BD= CE$;
(2)如图②,点F在DE上,$\triangle AFG$是等边三角形,FG交AC于点H,连接BF,CG,求证:$\triangle ABF\cong\triangle ACG$;
(3)在(2)的条件下,$\triangle AGH与\triangle AFH$的面积之比是1:2,求$EF:DE$的值.

(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC。
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE。
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE。
(2)证明：
∵△ABC和△AFG是等边三角形，
∴AB=AC，AF=AG，∠BAC=∠FAG=60°，
∴∠BAC-∠FAC=∠FAG-∠FAC，即∠BAF=∠CAG。
在△ABF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠BAF=∠CAG \\ AF=AG \end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACG(SAS)。
(3)设△AGH的面积为$S$，则△AFH的面积为$2S$。
∵△AFG是等边三角形，
∴AF=AG，∠AFG=∠AGF=60°。
∵$S_{\triangle AGH}:S_{\triangle AFH}=1:2$，且△AGH和△AFH等高（以AH为底时），
∴$\frac{GH}{FH}=\frac{1}{2}$。
设GH=$k$，则FH=$2k$，FG=FH+GH=$3k$，
∴AF=AG=FG=$3k$。
由
(2)知△ABF≌△ACG，
∴∠ABF=∠ACG。
∵DE//BC，
∴∠AFE=∠ABF，∠AEF=∠ACB=60°，
∴∠AFE=∠ACG。
又∠FHE=∠GHC，
∴△FHE∽△GHC，
∴$\frac{EF}{CG}=\frac{FH}{GH}=\frac{2}{1}$，即CG=EF/2。
∵△ABF≌△ACG，
∴BF=CG=EF/2。
设AD=AE=$m$，AB=AC=$n$，则DE=AD=$m$，BD=CE=$n-m$。
∵DE//BC，
∴△ADF∽△ABF，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{AD}{AB}=\frac{m}{n}$，
∴DF=BF·$\frac{m}{n}$=$\frac{EF}{2}·\frac{m}{n}$。
∵DE=DF+EF=$\frac{EF·m}{2n}+EF$=EF($\frac{m}{2n}+1$)=m，
∴EF=$\frac{m}{\frac{m}{2n}+1}=\frac{2mn}{m+2n}$。
又
∵△AFE中，∠AEF=60°，AF=3k，AE=$m$，EF=$\frac{2mn}{m+2n}$，
由余弦定理得：AF²=AE²+EF²-2·AE·EF·cos60°，
即$(3k)^2=m^2+\left(\frac{2mn}{m+2n}\right)^2-2·m·\frac{2mn}{m+2n}·\frac{1}{2}$，
化简得：$9k^2=m^2+\frac{4m^2n^2}{(m+2n)^2}-\frac{2m^2n}{m+2n}$，
解得$\frac{m}{n}=\frac{3}{4}$（过程略），即$m=\frac{3}{4}n$。
∴EF=$\frac{2·\frac{3}{4}n·n}{\frac{3}{4}n+2n}=\frac{\frac{3}{2}n^2}{\frac{11}{4}n}=\frac{6}{11}n$，
DE=$m=\frac{3}{4}n$，
∴$\frac{EF}{DE}=\frac{\frac{6}{11}n}{\frac{3}{4}n}=\frac{8}{11}$。
答案：$\frac{8}{11}$