1. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90°$,设$\angle A$,$\angle B$,$\angle C所对边的边长分别为a$,$b$,$c$,则()
A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$

B

在直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90°$，根据三角函数的定义：
$\sin B = \frac{对边}{斜边} = \frac{b}{c}$，
$\cos B = \frac{邻边}{斜边} = \frac{a}{c}$，
$\tan B = \frac{对边}{邻边} = \frac{b}{a}$，
逐一分析选项：
A. $c = b\sin B$，
由$\sin B = \frac{b}{c}$，得$c = \frac{b}{\sin B}$，与选项A不符。
B. $b = c\sin B$，
由$\sin B = \frac{b}{c}$，得$b = c\sin B$，与选项B相符。
C. $a = b\tan B$，
由$\tan B = \frac{b}{a}$，得$a = \frac{b}{\tan B}$，与选项C不符。
D. $b = c\tan B$，
由$\tan B = \frac{b}{a}$和$\cos B = \frac{a}{c}$，得$a = c\cos B$，代入得$\tan B = \frac{b}{c\cos B}$，即$b = c\cos B\tan B$，与选项D不符。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$CA = CB = 4$,$\cos C = \frac{1}{4}$,则$\sin B$的值为()

A.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{15}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{4}$

D

过点$A$作$AD\perp BC$，垂足为$D$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\cos C = \frac{CD}{AC}=\frac{1}{4}$，$AC = 4$，则$CD = 1$。
根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$。
$BD=BC - CD=4 - 1 = 3$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{15})^{2}+3^{2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。