1. 如果∠A 是锐角,且$\sin A= \frac{\sqrt{3}}{2}$,那么∠A 的大小是 ()
A.$75^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$45^{\circ }$
D.$30^{\circ }$

B

∵∠A是锐角，且$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据特殊角的三角函数值可知，$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠A=60°

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ }$,$AC= 4$,$BC= 3$,那么$\cos A$的值为 ()

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

B

在$Rt\triangle ABC$中，由于$\angle C=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，
根据勾股定理，有$AB=\sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$，
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$。

3. 如图,这是一架人字梯,已知$AB= AC= 2\ m$,$AC与地面BC的夹角为\alpha$,则两梯脚之间的距离$BC$为 ()

A.$4\cos \alpha\ m$
B.$4\sin \alpha\ m$
C.$4\tan \alpha\ m$
D.$\frac{4}{\cos \alpha}\ m$

A

由题意，人字梯$AB = AC = 2m$，形成等腰三角形$\bigtriangleup ABC$。
作$AD\bot BC$于点D，由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，$BD = CD$，即$BC = 2BD$，
在直角三角形$\bigtriangleup ADC$中，已知$\angle ACD = \alpha$，可以利用三角函数的定义来求解$CD$。
由$\cos\alpha = \frac{邻边}{斜边} = \frac{CD}{AC}$，代入$AC = 2m$，可得$CD = 2\cos\alpha m$。
因此，$BC = 2BD = 2 × (2\cos\alpha) = 4\cos\alpha m$。

4. 如图,小兵同学从$A处出发向正东方向走x\ m到达B$处,再向正北方向走到$C$处,已知$\angle BAC= \alpha$,则$A$,$C$两处相距 ()

A.$\frac{x}{\sin \alpha}\ m$
B.$\frac{x}{\cos \alpha}\ m$
C.$x\cdot \sin \alpha\ m$
D.$x\cdot \cos \alpha\ m$

B

由题意知，$AB=x$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=\alpha$，$\angle ABC=90°$，
根据余弦函数的定义：$\cos\alpha=\frac{AB}{AC}$，
即：$AC=\frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{x}{\cos\alpha}\ m$。
所以，本题选B。

5. 已知某河堤的横断面如图所示,堤高$BC为5\ m$,迎水坡$AB的长为13\ m$,那么斜坡$AB$的坡度为 ()

A.$1:3$
B.$1:2.6$
C.$1:2.4$
D.$1:2$

C

根据题意，堤高$BC = 5m$，迎水坡$AB$的长为$13m$。
利用勾股定理计算水平距离$AC$：
$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12(m)$，
斜坡$AB$的坡度为垂直高度与水平距离的比，即：
$坡度 = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12} =1:2.4$。