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26. (本小题 13 分)某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动.
【问题探究】
如图①,CP 为$\triangle ABC$的角平分线,求证:$\frac{PA}{PB}= \frac{AC}{BC}$.
甲同学的思路:关联“平行线和等腰三角形”,过点 B 作$BD// AC$,交 CP 的延长线于点 D,利用“三角形的相似”可证结论.
乙同学的思路:关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,过点 P 分别作$PD\perp AC$于点 D,$PE\perp BC$于点 E,利用“等面积法”也可证结论.
丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的,同时丙还有新发现:如果交换命题的题设和结论,得到“如图①,P 为$\triangle ABC$的边 AB 上一点,如果$\frac{PA}{PB}= \frac{AC}{BC}$,那么 CP 是$\triangle ABC$的角平分线”仍为真命题.
【问题解决】
(1) 你认为丙同学的新发现正确吗? 若正确,请给出证明;若不正确,请说明理由.
(2) 如图②,CP 为$\triangle ABC$的角平分线,DE 垂直平分 CP,垂足为 D,交 AB 的延长线于点 E,连接 CE.若$AC= 6$,$BC= 4$,$PA= 3$,求 CE 的长.
(3) 如图③,CD 为$\triangle ABC$的内角平分线,$\triangle ABC$的外角平分线 CE 交 AB 的延长线于点 E,且$ED= AD= 3$,则 BD 的长为______.
(1)
(2)
(3)
【问题探究】
如图①,CP 为$\triangle ABC$的角平分线,求证:$\frac{PA}{PB}= \frac{AC}{BC}$.
甲同学的思路:关联“平行线和等腰三角形”,过点 B 作$BD// AC$,交 CP 的延长线于点 D,利用“三角形的相似”可证结论.
乙同学的思路:关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,过点 P 分别作$PD\perp AC$于点 D,$PE\perp BC$于点 E,利用“等面积法”也可证结论.
丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的,同时丙还有新发现:如果交换命题的题设和结论,得到“如图①,P 为$\triangle ABC$的边 AB 上一点,如果$\frac{PA}{PB}= \frac{AC}{BC}$,那么 CP 是$\triangle ABC$的角平分线”仍为真命题.
【问题解决】
(1) 你认为丙同学的新发现正确吗? 若正确,请给出证明;若不正确,请说明理由.
(2) 如图②,CP 为$\triangle ABC$的角平分线,DE 垂直平分 CP,垂足为 D,交 AB 的延长线于点 E,连接 CE.若$AC= 6$,$BC= 4$,$PA= 3$,求 CE 的长.
(3) 如图③,CD 为$\triangle ABC$的内角平分线,$\triangle ABC$的外角平分线 CE 交 AB 的延长线于点 E,且$ED= AD= 3$,则 BD 的长为______.
(1)
正确。证明：过点B作BD//AC交CP延长线于D，∵BD//AC，∴△APC∽△BPD，∠ACP=∠D，∴PA/PB=AC/BD。∵PA/PB=AC/BC，∴AC/BD=AC/BC，∴BD=BC，∴∠D=∠BCD，∴∠ACP=∠BCD，即CP平分∠ACB。
(2)
∵CP为角平分线，∴PA/PB=AC/BC=6/4=3/2，∵PA=3，∴PB=2。设BE=x，CE=EP=2+x。∵DE垂直平分CP，∴CE=EP，∠ECP=∠EPC。∵∠EPC=∠BCP+∠CBP，∠ECP=∠ECA+∠ACP，∠ACP=∠BCP，∴∠ECA=∠CBP。又∠E=∠E，∴△ECA∽△EBC，∴EC/EB=EA/EC，即(2+x)/x=(5+x)/(2+x)，解得x=4，∴CE=2+4=6。
(3)
1
答案
(1) 正确。证明：过点B作BD//AC交CP延长线于D，∵BD//AC，∴△APC∽△BPD，∠ACP=∠D，∴PA/PB=AC/BD。∵PA/PB=AC/BC，∴AC/BD=AC/BC，∴BD=BC，∴∠D=∠BCD，∴∠ACP=∠BCD，即CP平分∠ACB。
(2) ∵CP为角平分线，∴PA/PB=AC/BC=6/4=3/2，∵PA=3，∴PB=2。设BE=x，CE=EP=2+x。∵DE垂直平分CP，∴CE=EP，∠ECP=∠EPC。∵∠EPC=∠BCP+∠CBP，∠ECP=∠ECA+∠ACP，∠ACP=∠BCP，∴∠ECA=∠CBP。又∠E=∠E，∴△ECA∽△EBC，∴EC/EB=EA/EC，即(2+x)/x=(5+x)/(2+x)，解得x=4，∴CE=2+4=6。
(3) 1
(2) ∵CP为角平分线，∴PA/PB=AC/BC=6/4=3/2，∵PA=3，∴PB=2。设BE=x，CE=EP=2+x。∵DE垂直平分CP，∴CE=EP，∠ECP=∠EPC。∵∠EPC=∠BCP+∠CBP，∠ECP=∠ECA+∠ACP，∠ACP=∠BCP，∴∠ECA=∠CBP。又∠E=∠E，∴△ECA∽△EBC，∴EC/EB=EA/EC，即(2+x)/x=(5+x)/(2+x)，解得x=4，∴CE=2+4=6。
(3) 1
