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9. 若关于x的方程$ax^{2}+bx+5= 0(a≠0)$有一根为 2025,则方程$a(x+1)^{2}+b(x+1)= -5$必有一根为(
A.2025
B.2024
C.2023
D.2022
B
)A.2025
B.2024
C.2023
D.2022
答案
B
解析
已知方程 $ ax^2 + bx + 5 = 0 $（$ a \neq 0 $）有一根为 2025，设另一根为 $ m $，根据根与系数的关系可得 $ 2025 + m = -\frac{b}{a} $，$ 2025m = \frac{5}{a} $。
方程 $ a(x+1)^2 + b(x+1) = -5 $ 可化为：
$ a(x+1)^2 + b(x+1) + 5 = 0 $$ 设 $ y = x + 1 $，则方程变为： $ ay^2 + by + 5 = 0 $$
此方程与原方程 $ ax^2 + bx + 5 = 0 $ 形式相同，且已知原方程有一根为 2025，因此 $ y = 2025 $，即 $ x + 1 = 2025 $，解得 $ x = 2024 $。
10. 如图,根据图中数字的规律,若第n个图中的$q= 143$,则p的值为(
A.100
B.121
C.144
D.169
B
)A.100
B.121
C.144
D.169
答案
B
解析
观察图形，第1个图：n=1，p=1=1²，q=3=2²-1；第2个图：n=2，p=4=2²，q=8=3²-1；第3个图：n=3，p=9=3²，q=15=4²-1。规律为p=n²，q=(n+1)²-1。由q=143得(n+1)²-1=143，即(n+1)²=144，n+1=12，n=11。则p=n²=11²=121。
11. 方程$x^{2}-2x= 0$的解是
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
.答案
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
解析
$x(x - 2) = 0$，则$x = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。
12. 写出一个两根互为相反数的一元二次方程:
$x^{2} - 1 = 0$（答案不唯一）
.答案
$x^{2} - 1 = 0$（答案不唯一）
解析
设方程的两根为 $a$ 和 $-a$，根据一元二次方程的根与系数的关系，若二次项系数为1，则方程可表示为 $x^2 - (根之和)x + (根之积) = 0$。
由于两根互为相反数，所以根之和为0，根之积为 $-a^2$（为一个负数或0，只有当$a=0$时，才为0，此时方程为$x^2=0$，通常考虑$a \neq 0$的情况）。
因此，可以构造方程 $x^2 - 0 \cdot x - a^2 = 0$，即 $x^2 - a^2 = 0$。
为了简化，取 $a = 1$，则方程为 $x^2 - 1 = 0$。
由于两根互为相反数，所以根之和为0，根之积为 $-a^2$（为一个负数或0，只有当$a=0$时，才为0，此时方程为$x^2=0$，通常考虑$a \neq 0$的情况）。
因此，可以构造方程 $x^2 - 0 \cdot x - a^2 = 0$，即 $x^2 - a^2 = 0$。
为了简化，取 $a = 1$，则方程为 $x^2 - 1 = 0$。
13. 已知关于x的方程$x^{2}-3x+a= 0$有一个根为-2,则方程的另一个根为
5
.答案
5
解析
设方程的另一个根为$x_1$，根据韦达定理，两根之和为$3$，即$-2 + x_1 = 3$，解得$x_1 = 5$。
14. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+c= 0$无实数根,则实数c的取值范围是
$c ＞ 1$
.答案
(无选项，直接给答案) $c ＞ 1$（或写成$c\in(1,+\infty)$等形式，只要意思对即可）
解析
对于一元二次方程 $x^{2} - 2x + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
此处，$a = 1, b = -2, c$ 为未知数，所以 $\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × c = 4 - 4c$。
因为方程无实数根，所以 $\Delta ＜ 0$，即 $4 - 4c ＜ 0$。
解这个不等式，得到 $c ＞ 1$。
此处，$a = 1, b = -2, c$ 为未知数，所以 $\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × c = 4 - 4c$。
因为方程无实数根，所以 $\Delta ＜ 0$，即 $4 - 4c ＜ 0$。
解这个不等式，得到 $c ＞ 1$。
15. 已知$x= n$是关于x的一元二次方程$mx^{2}-4x-5= 0$的一个根,且$mn^{2}-4n+m= 6$,则m的值为
1
.答案
1
解析
因为$x = n$是方程$mx^2 - 4x - 5 = 0$的根，所以$mn^2 - 4n - 5 = 0$，即$mn^2 - 4n = 5$。将$mn^2 - 4n = 5$代入$mn^2 - 4n + m = 6$，得$5 + m = 6$，解得$m = 1$。
16. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植 3 株时,平均每株盈利 4 元;若每盆增加 1 株,平均每株盈利减少0.5 元.要使每盆的盈利达到 15 元,每盆应多植多少株? 设每盆多植x株,则可以列出方程:
$(3+x)(4-0.5x)=15$（或未化简的等价形式）
.答案
$(3+x)(4-0.5x)=15$（或未化简的等价形式）。
解析
设每盆多植$x$株，则每盆植$ (3 + x) $株。
根据题意，每增加1株，平均每株盈利减少0.5元，所以每株盈利为$ (4 - 0.5x) $元。
要使每盆的盈利达到15元，则方程为：
$ (3 + x)(4 - 0.5x) = 15 $。
根据题意，每增加1株，平均每株盈利减少0.5元，所以每株盈利为$ (4 - 0.5x) $元。
要使每盆的盈利达到15元，则方程为：
$ (3 + x)(4 - 0.5x) = 15 $。
17. 已知a,b是关于x的一元二次方程$x^{2}-x-2024= 0$的两个实数根,则代数式$a^{2}-2025+b$的值为
0
.答案
0
解析
∵a是方程$x^{2}-x-2024=0$的根，∴$a^{2}-a-2024=0$，即$a^{2}=a+2024$。∵a,b是方程的两个实数根，由根与系数的关系得$a+b=1$。则$a^{2}-2025+b=(a+2024)-2025+b=a+b-1=1-1=0$。
18. 已知$4-\sqrt{15}$是关于x的方程$(x-2)(ax^{2}+bx+c)= 0$(a,b,c是有理数,$a≠0$)的一个根,则该方程的另外两个根分别是
2和$4 + \sqrt{15}$
.答案
2和$4 + \sqrt{15}$
解析
方程$(x - 2)(ax^2 + bx + c) = 0$的根为$x = 2$及二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。已知$4 - \sqrt{15}$是方程的根且$4 - \sqrt{15} ≠ 2$，故其为$ax^2 + bx + c = 0$的根。因$a,b,c$是有理数，有理系数二次方程的无理根成对出现，所以$ax^2 + bx + c = 0$的另一根为$4 + \sqrt{15}$。因此方程另外两个根是$2$和$4 + \sqrt{15}$。
