23.(本小题 12 分)已知 A 是$\odot O$外一点,B 是线段 OA 的中点.
(1)如图,过点 A 作$\odot O$的一条切线,切点为 C；(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若$AC= \sqrt{3}AB$,求证：点 B 在$\odot O$上.

(1) 作图痕迹：以OA为直径作圆，与$\odot O$交于点C，连接AC，AC即为所求切线。（图中需保留辅助圆及交点C的痕迹）
(2) 证明：设$OA=2x$，
∵B是OA中点，∴$OB=BA=x$，$AC=\sqrt{3}AB=\sqrt{3}x$。
∵AC是$\odot O$切线，∴$OC\perp AC$，$\triangle OCA$为直角三角形。
设$\odot O$半径为$r$，则$OC=r$。
在$Rt\triangle OCA$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
即$(2x)^2=r^2+(\sqrt{3}x)^2$，
$4x^2=r^2+3x^2$，
$r^2=x^2$，$r=x$。
∵$OB=x$，∴$OB=r$，
故点B在$\odot O$上。

24.(本小题 12 分)某种商品的进价为每件 40 元,现在的售价为每件 60 元,每周可卖出 40 件. 经市场调查发现如下信息. 设每件商品的售价为 x 元,每周可获得的销售利润为 y 元.
信息一：每降价 1 元,每周可多卖出 10 件；
信息二：由于货源紧缺,每周最多能卖 90 件.
(1)求 y 与 x 的函数解析式.
(2)每件商品的售价定为多少元时,每周可获得的销售利润最大？最大利润是多少？

(1) 由题意，每件利润为$(x - 40)$元，售价为$x$元时，降价$(60 - x)$元，销售量为$40 + 10(60 - x) = 640 - 10x$件。
因每周最多卖90件，故$640 - 10x \leq 90$，解得$x \geq 55$，又售价不高于60元（降价情境），则$55 \leq x \leq 60$。
利润$y=(x - 40)(640 - 10x)=-10x^2 + 1040x - 25600$。
综上，$y=-10x^2 + 1040x - 25600(55 \leq x \leq 60)$。
(2) $y=-10x^2 + 1040x - 25600$，$a=-10＜0$，抛物线开口向下，对称轴$x=-\frac{1040}{2×(-10)}=52$。
$x=52$不在$55 \leq x \leq 60$内，该区间内$y$随$x$增大而减小。
当$x=55$时，$y_{max}=(55 - 40)×90=1350$。
答：售价定为55元时，每周利润最大，最大利润1350元。